Diagonales d'une spirale

[godzi 646]

Soit une spirale de taille 5*5 construite de la façon suivante :

 

21   22    23   24    25
20    7     8    9    10
19    6     1    2    11
18    5     4    3    12
17   16    15   14    13

 

On peut calculer que la somme des nombres sur les diagonales est de 101.

 

Quelle est la somme des nombres sur les diagonales d'une spirale de 501*501 construite de la même manière ?

[ribi 763]

Sauf erreur...

Faisons le total dans les carrés successifs concentriques, ce qui construit une suite

u_n :
u₁=1
u₂=u₁+4*(2-1)^2+2*(1+2+3+4)=25
u₃=u₂+4*(2*2-1)^2+(2*2)*(1+2+3+4)=25+36+40=101
u₄=u₃+4*(3*2-1)^2+(3*2)*(1+2+3+4)=101+100+60=261

...

On déduit :
u_n+1=u_n+4*(2*n-1)^2+(2*n)*(1+2+3+4)=u_n+16*n^2+4*n+4
cherchons à mettre sous la forme : u_n=a*n^3+b*n^2+c*n+d
u_n+1=a*n^3+(3*a+b )*n^2+(3*a+2*b+c)*n+(a+b+c+d)
=a*n^3+(16+b )*n^2+(4+c)*n+(d+4)
C'est possible pour toutes les valeurs de n si :
a=16/3
b=-6
c=14/3

Donc :
u_n=16/3*n^3-6*n^2+14/3*n-3 pour avoir u₁=1
Pour avoir un carré 501*501, n=251
donc le total est :
16/3*251^3-6*6*251^2+14/3*251-3=83 960 501

Modifié 30 juillet 2014 par ribi

[godzi 646]

bravo c'est bien ça (après il y a peut-être plus simple pour calculer ça)

Modifié 30 juillet 2014 par godzi

[Grassotv 58]

Et bah dis donc, je me casse le crane depuis ce matin, je vous passe le page de calculs et les milliers de ratures, voici la meilleure formule que j'ai trouvée même si elle est pas tout à fait finalisée elle suffit à trouver la réponse

 

Considérons une suite Un ou n est le nombre de tours. J'ai simplifié la formule au maximum à :

Un= U(n-1) + 4*(2n-3)² + 20n - 20

Elle dépend encore de U(n-1) donc pas optimale mais avec un simple tableau excel on s'en sort easy. Avec un carré de 501*501 on obtien 251 tours. Il suffit donc d'avoir en colonne A une suite de chiffre de 1 à 251 et de rentrer la formule dans la colonne B en remplaçant les n par la case de la première colonne. Ensuite il faut mettre un 1 dans la case B1 pour lancer la suite et le tour et joué. Pour 251 tours on obtient donc 83960501.

[godzi 646]

c'est bon pour toi aussi   

[Grassotv 58]

Cool j'ai eu trop peur que tu me dise non recommence...  , dis-donc celle-là tu pourra la mettre dans la catégorie Cauchemardesque celle-là  

Modifié 31 juillet 2014 par Grassotv

[godzi 646]

il y avait une façon directe pour s'y prendre... vous n'avez pas choisi la solution la plus simple

[timout 2 618]

Apparemment le 1 ne compte qu'une seule fois

On peut voir sur le 5*5 la diagonale Haut/Gauche Bas/droite est incrémentée de 2 par rapport à l'angle opposé que l'on retrouve dans la 3°colonne de mon excel

Tandis que sur l'autre diagonale c'est incrémenté de 4 puis 4 puis 8 puis comme dans ma colonne 2, cumulé ca donne la colonne 4

Il suffit donc de faire la somme des colonnes 3+4 (moins 1 pour ne pas reprendre le centre) sur les 501 lignes

Ce qui me donne 83960501

[godzi 646]

bravo, j'ai pas tout compris mais c'est le bon résultat

[timout 2 618]

En gros la première colonne représente l'incrément entre chaque nombre de la première diagonale

La 2° colonne l'incrément entre chaque nombre de la 2°diagonale

En 3 et 4 on retrouve les nombres de ces diagonales qui correspond au cumul de la ligne précédente+la valeur de l'incrément

[godzi 646]

ah ok compris

[Grassotv 58]

Tu pourra nous donner ta solution godzi, si tu as plus simple je suis preneur ça pourra toujours servir dans le futur   Merci

[godzi 646]

essayez de procéder par "carrés" en trouvant le rapport entre le coin en haut à droite et les 3 autres coins

[petiseb 1 174]

Excel m'indique 41917501.

 

En utilisant la formule :   2*n²-4*(n-1)  pour la somme des coins d'un carré n*n

[godzi 646]

nop

[petiseb 1 174]

Autant pour moi, je n'ai fait qu'une diagonale.

En plus tu précises 101 x)

 

Je trouve 83960501.

 

Avec du coup comme formule pour les coins : 4*n² - 6(n-1)  pour un carré n*n

 

Il suffit de calculer la somme de 1 à n en ne prenant que les nombres impairs. Et là merci excel

[godzi 646]

bonne réponse

 

une dernière en clair ?

[petiseb 1 174]

J'aurai du résoudre ça comme ribi, je suis mauvais

[godzi 646]

quelqu un pour trouver la solution sans suite ni excel?

Un indice :

N

somme i = N(N+1)/2

i = 1

N

somme i^2 = N(N+1)(2N+1)/6

i =1

[godzi 646]

Bon comme plus personne ne semble chercher je mets ma solution :

On part du centre (1) et on parcourt la diagonale par carrés
1er coin en haut à droite = 9 = (2*1+1)²
1er coin en haut à gauche = 7 = 9-2 = (2*1+1)² - 2*1*1
1er coin en bas à gauche = 5 = 9-4 =  (2*1+1)² - 2*2*1
1er coin en bas à droite = 3 = 9-6 = (2*1+1)² - 2*3*1

2eme coin en haut à droite = 25 = (2*2+1)²
2eme coin en haut à gauche = 21 = 25-4 = (2*2+1)² - 2*1*2
2eme coin en bas à gauche = 17 = 25-8 =  (2*2+1)² - 2*2*2
2eme coin en bas à droite = 13 = 25-12 = (2*2+1)² - 2*3*2

...
neme coin en haut à droite = (2n+1)²
neme coin en haut à gauche = (2n+1)² - 2n
neme coin en bas à gauche = (2n+1)² - 4n
neme coin en bas à droite = (2n+1)² - 6n

et la somme de ces 4 coins :
(2n+1)² + (2n+1)² - 2n + (2n+1)² - 4n + (2n+1)² - 6n
= 4(2n+1)² - 12n

Il ne reste qu'à sommer tout ça jusqu'au 250eme coin (+1 pour le centre) :

 

Cette énigme était inspirée d'un des problèmes du projet Euler : https://projecteuler.net/

Si vous êtes en manque de programmation ... n'hésitez pas à y faire un tour

 

Résolue. Bravo à tous