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Zeus

L'art de tourner en rond...

Énigmes

Un ami vient de m'envoyer ce problème... Je n'y ai pas encore réfléchi... Je partage avec vous ! ;)

 

Il est 13h52, comme indiqué sur cette horloge.

post-294-0-03765200-1424281796_thumb.jpg

 

A 13h53, les nombres (1, 2, 3, ..., 11, 12) se décaleront tous d'autant de degrés que l'angle formé par les petite et grande aiguilles.

On se fiche de la trotteuse.

Où sera le 12 à minuit (quand les deux aiguilles seront parfaitement superposées) ?

Modifié par Zeus

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36 réponses à cette énigme

Messages recommandés

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Je ne comprends pas dans quel sens les nombres tournent, et s'il tourneront à nouveau entre 13h53 et minuit...

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Je ne comprends pas dans quel sens les nombres tournent, et s'il tourneront à nouveau entre 13h53 et minuit...

Les nombres tournent dans le sens habituel des aiguilles... et à chaque minute.

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Si j'ai bien compris, en comptant les angles en demi-degrés, pour avoir des nombres entiers, et en mesurant le temps t depuis midi en minutes :

L'angle que fait la grande aiguille est 12*t (720 demi-degrés en une heure)

L'angle que fait la petite aiguille est t

L'angle entre les deux aiguilles est soit 11*t modulo 720 soit 720-11*t modulo 720, et on choisit la plus petite valeur possible, car il serait bizarre de considérer un angle rentrant.

Si on code en Python, cela donne :

ang=0
for t in range(113,721):
    ang+=min((11*t)%720,(720-11*t)%720)
print(ang%720)

La réponse est 620, ce qui correspond à 310° ou 50° à gauche de l'emplacement normal.

Le chiffre 12 se situera entre l'emplacement habituel du 10 et celui du 11.

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Petite précision de l'auteur...

 

L'angle de rotation est "heure-arc de cercle dans le sens des aiguilles d'une montre-minute", donc parfois rentrant, parfois saillant...

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Ce serait plus simple :

L'angle que fait la grande aiguille est 12*t (720 demi-degrés en une heure)


L'angle que fait la petite aiguille est t
L'angle entre les deux aiguilles est soit 11*t modulo 720.

Il suffit de faire la somme de 113 (13h53) à 720 (minuit) de 11*t modulo 720,

Ce qui donne 720*721/2 - 113*112/2≡360-113*56=-5968≡512 (720)

à multiplier par 11... 592 (720)

296°

Le 12 serait proche du 10...

Modifié par ribi

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Je te tiens au courant, ribi... moi, ça me dépasse un peu.

Je l'ai envoyé à un prof de maths, on verra bien sa réponse. ;)

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Ne trouvant pas comment attaquer le problème, je l'ai soumis à un ami plutôt costaud en math

Il a séché :mrgreen:

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tu l'as sur facebook sinon, ça sera peut-être plus simple

 

Mais oui, il proposait souvent des énigmes excellentes

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Bon, je vais tenter ma chance en partant d'un truc bien général. Commençons par trouver l'angle entre les deux aiguilles quelque soit l'heure, qu'on nommera PG (P pour petite aiguille, G pour grande).

D'abord, déterminons l'angle de chaque aiguille par rapport au midi en fonction de l'heure. On notera l'heure H:M, H pour l'heure, M pour les minutes.

Pour la grande aiguille, c'est facile, quelque soit H, l'angle OG (entre le midi et G) n'est déterminé que par M. La grande aiguille avance d'un soixantième de tour par minute, ce qui donne en radians :

xDakL9q.gif

Pour la petite aiguille c'est un tout petit peu plus compliqué : à chaque heure elle a fait un 12ème de tour, mais elle continue d'avancer d'un soixantième de l'angle entre deux heures à chaque minute (en tout cas, c'est comme ça dans une horloge à mouvement continu)

Pour prendre un exemple, quand il est entre 00:00 et 01:00, l'angle OP est donné par ybjHHu1.gif.

60 minutes plus tard, on a bien OP = 2*pi/12, la petite aiguille a avancé d'un douzième de tour.

 

Pareil entre 01:00 et 02:00, où la petite aiguille commence à 2pi/12 pour finir à 4*pi/12

 

EU9mhfZ.gif

 

et entre 02:00 et 03:00

 

GZdb2cj.gif

 

On voit bien arriver la relation générale, quelle que soit l'heure H:M, la petite aiguille fait un angle de

 

QvXU5p5.gif

avec le midi.

 

 

Du coup, quelle que soit l'heure H:M, l'angle entre les deux aiguilles est donné par

JqyphxB.gif

soit

 

HUPpVaR.gif (2 signe égal, raté, mais la flemme de le refaire)

 

Fiou.

 

On peut vérifier si on ne raconte pas trop n'importe quoi en regardant les heures auxquelles les deux aiguilles sont superposées.

En mettant PG = 0 mod(2pi), on obtient des valeurs comme (approximativement)

01:05:27

02:10:54

08:43:37

 

etc... Ca a l'air de fonctionner.

 

Pour simplifier le problème, on peut s'intéresser à la rotation du cadran de notre horloge pendant une heure. Il s'avère qu'il s'agit simplement de la somme de tous les angles qui existent entre nos aiguilles entre une heure h:00 et h:59, ce qui donne

 

nMCk26X.gif

 

Le 3600*h*2*pi/(60*12) donne un multiple de 2pi, ce qui fait un tour complet et, en sachant que la somme des n premiers entiers est n(n+1)/2, cela donne

 

vMsCFmX.gif

 

Ce terme est égal à pi/12 modulo 2pi. Donc le cadran tourne d'1/12ème de tour par heure. A vrai dire, je suis certain qu'il y a une manière très élégante de retrouver ce résultat avec des jolies notions de symétries, etc... mais je suis infoutu de trouver comment faire ça bien.

 

Au final, entre 13:53 et 00:00, le cadran aura donc tourné de ce qu'il tourne entre 13:53 et 14:00, plus 10 fois 1/12ème de tour.

 

Qu'en est-il de ce qui se passe entre 13:53 et 14:00?

 

Eh bien, en vous épargnant les formules, le même système de sommes qu'au dessus donne un angle de :

 

4492*2*pi/(60*12)

 

En enlevant tous les modulo 2pi partout , cela correspond à une rotation de 2/12ème de tour plus 52/(60*12) tours.

 

Donc, je trouve qu'au final, on a fait 12/12ème de tour retour à la case départ) et 52/(60*12) tours. Le 12 se situerait donc à l'endroit où se trouve la petite aiguille à 00:52. (et je vous avoue que je me demande bien si on aurait pas du tomber sur 13:52 et que la réflexion est simplissime ^^)

 

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Seulement trois erreurs...

Bon, je vais tenter ma chance en partant d'un truc bien général. Commençons par trouver l'angle entre les deux aiguilles quelque soit l'heure, qu'on nommera PG (P pour petite aiguille, G pour grande).

D'abord, déterminons l'angle de chaque aiguille par rapport au midi en fonction de l'heure. On notera l'heure H:M, H pour l'heure, M pour les minutes.

Pour la grande aiguille, c'est facile, quelque soit H, l'angle OG (entre le midi et G) n'est déterminé que par M. La grande aiguille avance d'un soixantième de tour par minute, ce qui donne en radians :

xDakL9q.gif

Pour la petite aiguille c'est un tout petit peu plus compliqué : à chaque heure elle a fait un 12ème de tour, mais elle continue d'avancer d'un soixantième de l'angle entre deux heures à chaque minute (en tout cas, c'est comme ça dans une horloge à mouvement continu)

Pour prendre un exemple, quand il est entre 00:00 et 01:00, l'angle OP est donné par ybjHHu1.gif.

60 minutes plus tard, on a bien OP = 2*pi/12, la petite aiguille a avancé d'un douzième de tour.

 

Pareil entre 01:00 et 02:00, où la petite aiguille commence à 2pi/12 pour finir à 4*pi/12

 

EU9mhfZ.gif

 

et entre 02:00 et 03:00

 

GZdb2cj.gif

 

On voit bien arriver la relation générale, quelle que soit l'heure H:M, la petite aiguille fait un angle de

 

QvXU5p5.gif

avec le midi.

 

 

Du coup, quelle que soit l'heure H:M, l'angle entre les deux aiguilles est donné par

JqyphxB.gif

soit

 

HUPpVaR.gif (2 signe égal, raté, mais la flemme de le refaire)

On peut ajouter 2*π*H, ce qui donne 2*π*11*t/(60*12) ou 11*t en demi-degré, nous sommes d'accord.

 

Fiou.

 

On peut vérifier si on ne raconte pas trop n'importe quoi en regardant les heures auxquelles les deux aiguilles sont superposées.

En mettant PG = 0 mod(2pi), on obtient des valeurs comme (approximativement)

01:05:27

02:10:54

08:43:37

 

etc... Ca a l'air de fonctionner.

 

Pour simplifier le problème, on peut s'intéresser à la rotation du cadran de notre horloge pendant une heure. Il s'avère qu'il s'agit simplement de la somme de tous les angles qui existent entre nos aiguilles entre une heure h:00 et h:59, ce qui donne

 

nMCk26X.gif

oui

Le 3600*h*2*pi/(60*12) donne un multiple de 2pi, ce qui fait un tour complet et, en sachant que la somme des n premiers entiers est n(n+1)/2, cela donne

 

vMsCFmX.gif

oui

Ce terme est égal à pi/12 modulo 2pi.

oui

Donc le cadran tourne d'1/12ème de tour par heure.

non, un 24-ème de tour

A vrai dire, je suis certain qu'il y a une manière très élégante de retrouver ce résultat avec des jolies notions de symétries, etc... mais je suis infoutu de trouver comment faire ça bien.

 

Au final, entre 13:53 et 00:00, le cadran aura donc tourné de ce qu'il tourne entre 13:53 et 14:00, plus 10 fois 1/24ème de tour.

 

Qu'en est-il de ce qui se passe entre 13:53 et 14:00?

 

Eh bien, en vous épargnant les formules, le même système de sommes qu'au dessus donne un angle de :

 

4492*2*pi/(60*12)

j'ai beau recompter, je trouve toujours 3892*2*π/(60*12)

En enlevant tous les modulo 2pi partout , cela correspond à une rotation de 2/12ème de tour plus 52/(60*12) tours.

pour moi 4/12ème de tour plus 52/(60*12) tours

Donc, je trouve qu'au final, on a fait 18/24ème de tour retour à la case départ) et 52/(60*12) tours. Le 12 se situerait donc à l'endroit où se trouve la petite aiguille à 00:52 troisième erreur : 52/(60*12) n'est pas 52/60. (et je vous avoue que je me demande bien si on aurait pas du tomber sur 13:52 et que la réflexion est simplissime ^^)

Après correction, 18/24=3/4 de tour=270° plus 52 demi-degrés.

:) 26+270=296° je l'avais bien dit...

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J'avoue que j'ai pas le niveau pour ce genre de problème.

Mais c'est très intéressant, il faut que je lise la solution et prenne le temps de comprendre ^^

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Ah oui, merci ribi pour les corrections. Effectivement 11*t en demi degrés c'est plus simple !

 

J'suis d'accord, c'est bien 1/24ème de degré, puisque pi/12 modulo 2pi.

 

Pour le 4492 c'est parce que j'avais sommé de 53 à 60 au lieu de 53 à 59.

Je suis donc bien d'accord pour les 269°, par contre 52/(60*12) tours, c'est bien la position de la PETITE aiguille à 00:52.

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Et oui, j'ai fais une erreur de lecture de la fin de Bonzaï. :-/

L'erreur est humaine.

Je m'étais d'ailleurs trompé dans ma (mais je l'ai corrigée dans les cinq minutes après l'avoir proposée)...

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L'important c'est qu'on soit bien d'accord sur le résultat :

 

269°, soit la position de la petite aiguille lorsqu'il est 9:52

 

Je pense qu'on peut marquer "résolu", non ?

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J'attends la réponse de 2 collègues profs de maths pour valider... Mais j'ai l'impression qu'ils galèrent un peu... ;)

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