[Résolue] triangle meccano

[ribi 764]

On veut fabriquer un triangle à partir de bandes perforées (par exemple de type Meccano).

Les bandes sont perforées à intervalles réguliers avec des trous circulaires dans lesquels on peut insérer des boulons (vis écrou) adaptés.

L'intervalle entre les trous sert d'unité de mesure.

Un triangle fabriqué a donc nécessairement des côtés AB, BC, AC, dont les mesures, entre les trous de fixation, sont des nombres entiers.

Pour consolider les triangles, on décide d'ajouter des bandes perforées entre les sommets et un point P à l'intérieur du triangle. Ce n'est pas toujours possible car les longueurs a=AP, b=BP, c=CP doivent aussi être entières.

Trouver AB=? AC=? BC=? a=? b=? c=? tous les six entiers.

Il y a beaucoup de solutions. Toutes sont les bienvenues. La solution qui sera considérée comme optimale est celle qui marche avec les pièces les plus courtes c'est-à-dire avec le maximum entre a, b et c, le plus petit possible.

Proposez vos réponses...

[bvph 1 076]

a=73

b=88

c=95

pour un triangle équilatéral de côté = 147

[ribi 764]

Bravo bvph, très jolie solution pour un triangle équilatéral. Est-ce qu'on peut la trouver "à la main" ? Il existe des solutions qui peuvent être trouvées sans gros calcul pour des valeurs de a,b,c beaucoup plus petites (mais je n'en ai pas trouvé pour des triangles équilatéraux).

Continuez à chercher des triangles relativement "symétriques"...

Modifié 2 novembre 2011 par ribi

[ribi 764]

C'est curieux que ça ne vous inspire pas...

J'attends des réponses simples en superposant des triangles rectangles avec des côtés entiers...

Cliquez ici si vous ne voyez pas de quoi je parle.

On cherche à faire une figure du même type que celle dessinée avec a,b,c entiers les plus petits possibles.

pour le moment les tiges autour de P mesurent 95 ou moins, mais on peut faire beaucoup plus court !

Modifié 4 novembre 2011 par ribi

[Cybero 4 208]

En fait j'ai cherché ce matin mais je ne vois pas la technique à adopter

[ribi 764]

En fait j'ai cherché ce matin mais je ne vois pas la technique à adopter

Ajouter un trait à la

figure, légèrement déformée pour qu'il n'apparaisse que des triangles rectangles...

[ribi 764]

Pour ceux qui veulent savoir le schéma géométrique à faire :

J'ai mis des longueurs très grandes, mais il existe des solutions sur le même principe beaucoup plus petites, calculables sans machine... Il vous reste à trouver les valeurs de a,b,c, AB, AC, BC les plus petites...

Ce lien peut vous aider aussi.

[bvph 1 076]

j'en ai trouvé un plus petit ( enfin Mathcad a trouvé)

73,65,57 pour un coté de 112

[ribi 764]

j'en ai trouvé un plus petit ( enfin Mathcad a trouvé)

Effectivement, on passe de 95 à 73 pour la bande la plus longue reliant le sommet à P. Je ne sais pas quelle est la solution la plus courte pour un triangle équilatéral, mais on peut trouver beaucoup plus petit pour un triangle isocèle...

[Cybero 4 208]

Pour la bande la plus longue je trouve 10 avec un triangle isocèle

Je pense pas qu'il y ai plus petit

[ribi 764]

Cybero

C'est la solution à laquelle je pensais... C'est très bien.

Les autres peuvent aussi chercher, et proposer la réponse détaillée en spoiler pour l'instant...

[Cybero 4 208]

Je me demande s'il n'y a pas plus petit avec un triangle quelconque... mais pour les calculs...

[ribi 764]

Je me demande s'il n'y a pas plus petit avec un triangle quelconque... mais pour les calculs...

Si je ne me suis pas trompé dans ma programmation (heureusement que j'ai programmé pour vérifier les réponses de bvph), la réponse la plus petite est pour un triangle isocèle.

Il se trouve que pour une fois, la réponse à ce genre de problème n'est pas très compliquée, et il n'y a pas besoin de programmation. Proposez des triangles...

[godzi 646]

Pour les premières valeurs, je trouve :

Avec un triangle ABC isocèle en C

AB = 16, BC = 17, a=10, b=10; c=9

AB = 18, BC = 41, a=15, b=15; c=28

AB = 24, BC = 15, a=13, b=13; c=4

AB = 24, BC = 20, a=13, b=13; c=11

AB = 24, BC = 37, a=13, b=13; c=30

AB = 24, BC = 20, a=15, b=15; c=7

AB = 24, BC = 37, a=15, b=15; c=26

AB = 24, BC = 37, a=20, b=20; c=19

AB = 30, BC = 25, a=17, b=17; c=12

AB = 30, BC = 39, a=17, b=17; c=28

AB = 30, BC = 39, a=25, b=25; c=16

AB = 32, BC = 34, a=20, b=20; c=18

AB = 32, BC = 65, a=20, b=20; c=51

AB = 32, BC = 65, a=34, b=34; c=33

AB = 36, BC = 82, a=30, b=30; c=56

AB = 40, BC = 29, a=25, b=25; c=6

AB = 40, BC = 52, a=25, b=25; c=33

AB = 40, BC = 52, a=29, b=29; c=27

AB = 42, BC = 35, a=29, b=29; c=8

[ribi 764]

Pour les premières valeurs, je trouve :

Avec un triangle ABC isocèle en C

AB = 16, BC = 17, a=10, b=10; c=9 Meilleure solution.

AB = 24, BC = 15, a=13, b=13; c=4

AB = 24, BC = 20, a=13, b=13; c=11

AB = 24, BC = 20, a=15, b=15; c=7 À mon avis la solution la plus facile À trouver puisqu'elle ne fait appel qu'au 3-4-5

AB = 30, BC = 25, a=17, b=17; c=12

AB = 32, BC = 34, a=20, b=20; c=18

AB = 24, BC = 37, a=20, b=20; c=19

AB = 40, BC = 29, a=25, b=25; c=6

AB = 30, BC = 39, a=25, b=25; c=16

Je n'avais lancé le programme que pour un maximum de a, b, c égal À 25 :

j'ai trouvé 3 autres triangles isocèles avec un maximum de a b c égal À 25.

Au-delÀ de 25, je ne les avais pas ; je vérifie :

AB = 24, BC = 37, a=15, b=15; c=26

AB = 18, BC = 41, a=15, b=15; c=28

AB = 30, BC = 39, a=17, b=17; c=28

AB = 42, BC = 35, a=29, b=29; c=8

AB = 40, BC = 52, a=29, b=29; c=27

AB = 24, BC = 37, a=13, b=13; c=30

AB = 40, BC = 52, a=25, b=25; c=33

AB = 32, BC = 65, a=34, b=34; c=33

AB = 32, BC = 65, a=20, b=20; c=51

AB = 36, BC = 82, a=30, b=30; c=56

Excellent... (j'ai ajouté quelques remarques en mauve...)

Il ne reste plus qu'un dessin et ce sera résolu.

Tiens, c'est très curieux ces À qui deviennent des majuscules ?

[Cybero 4 208]

ces à là ?

[ribi 764]

Oui, hier, les "à" minuscules se transformaient en "à" spontanément, même quand je les corrigeais, mais aujourd'hui tout va bien...

Modifié 16 novembre 2011 par ribi

[ribi 764]

ah non, maintenant ce sont les "À" majuscules qui ne veulent plus être affichés que comme "À" !

edit : apparemment une fois sur 2 on a des majuscules et une fois sur 2 des minuscules.

Cherchez plutôt des triangles...

Modifié 16 novembre 2011 par ribi

[Cybero 4 208]

Dommage que cette énigme n'attire pas plus de monde, je l'ai trouvée très intéressante

[Cybero 4 208]

[Cybero 4 208]

ribi, peux-tu faire quelque chose pour faire avancer le shmilblilililik ?

[ribi 764]

En fait tout a été dit. Résumons...

On cherche une solution pour relier un point à des sommets d'un triangle, de telle façon que toutes les longueurs soient entières, comme cet exemple :

En fait ce n'est pas la plus petite solution pour les longueurs a, b et c.

Cherchez cette solution minimale, qui ressemble beaucoup à celle-ci...

Remarquez les triangles rectangles pour simplifier le problème !

[Cybero 4 208]

[godzi 646]

[ribi 764]

Merci godzi.

c'est résolu...

Merci aussi à bvph qui avec l'énigme du m'a donné l'idée de chercher s'il existait des solutions avec des longueurs toutes entières à son problème.

Et ce que je trouve très amusant est que dans un parc qui serait comme le triangle qu'a dessiné godzi, les gardiens se retrouveraient en P après chaque tour de ronde...