Aller au contenu
  • 0
l'homme

Les nombreux mathématiciens (niv 2)

Énigmes

Dans un pays lointain, il y avait une infinité dénombrable de mathématiciens qui étaient tous en prison.

Un jour, le gardien qui était aussi un vendeur de chapeaux leur dit:

Demain, une fois que vous vous serez rangés en rang, je vous mettrai à chacun soit noir soit blanc sur la tête, de sorte que vous ne voyiez que les chapeaux de ceux qui seront devant vous.

Puis, un par un, vous direz de quelle couleur vous pensez avoir un chapeau. Si vous trouvez, je vous libère. Sinon, je vous remet en prison.

Le lendemain, seul un mathématicien resta en prison.

Comment ont-il fait?

 

Bon courage, c'est un poil plus dur :) 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites

37 réponses à cette énigme

Messages recommandés

  • 0
Spoiler

"3/ Les mathématiciens peuvent se concerter à priori pour choisir une unique suite représentative de chaque famille. "

Cette étape est beaucoup plus puissante qu'elle n'en a l'air. En fait, il s'agit ni plus ni moins de l'axiome du choix. Cet axiome est si puissant et tendancieux qu'il n'est pas accepté par l'ensemble des mathématiciens aujourd'hui. Une petite minorité le pensent faux!

C'est cependant ainsi qu'il faut procéder
-> Je ne vois pas quel est l'axiome fait sur cette étape
Si physiquement il est évidemment impossible de choisir un nombre infini de suite représentative d'un nombre infini de famille, mathématiquement où est le problème ? sur l'existence d'une suite représentative ? 

Ensuite, c'est un bon début, mais il reste à trouver la fin de la réponse! -> Quelle fin ? Qu'est ce qui manque ? Le fait qu'il n y ait qu'un seul mathématicien en prison? 

 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0
Révélation

Voici l'axiome du choix expliqué en français:

Si on a un ensemble d'ensembles, alors on peut choisir un élément représentatif de chaque ensemble.

 

Effectivement, dit comme ça, ça paraît évident, mais en fait c'est très puissant, surtout avec des infinis non dénombrables. Si bien que de grands mathématiciens refusent d'utiliser cet axiome.

Révélation

Pour aller plus loin, en effet, il faut compléter la réponse afin que 1 seul reste en prison le lendemain.

Un dernier effort!

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0

Ok, compris pour l'axiome du choix (sa signification, car ce qu'il y a dessous m'échape) !

Pour la réponse finale, donc, sans compter sur la chance ? 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0
Spoiler

Alors je vais te dire ma compréhension de la chose, mais ce n'est probablement par très mathématique. 
Si je prends la suite 111111111111111111111111111....
Je peux construire toutes les suites qui la rejoigne à un niveau K de manière itérative. 
K=1, 111111111111111111...
K=2, 011111111111111111...
K=3 101111111111111111...
        001111111111111111...
K=4 000111111111111111...
        1001111...
        0101111...
        1101111....
Etc... 
En l'écrivant, je me rends compte qu'à partir de n'importe suite un, je peux construire toutes les suites vn qui la rejoignent en K de la manière suivante :
v(n>K)=u(n>K)
v(K)~=u(K) (si uk=1 alors vn=0 et vice versa)

v(n<K)= toutes les combinaisons de suite possible de longueur K-1. 
Donc à partir de n'importe quelle suite je peux construire sa famille de suite qui se rencontre. 

Evidemment, c'est impossible en réalité, puisqu'il faut être capable de 'percevoir' toutes les suites possibles, et toutes les familles possibles, et retenir un nombre infini de suites représentatives. 

Est ce que ca répond à ta question? 
 

 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0

Alors j'ai peut-être une piste pour conclure, mais elle me permet pour l'instant de limiter la casse à DEUX mathématiciens : 
 

Spoiler

La file et la suite représentative se rejoignent définitivement en K. C'est à dire que nécessairement, elles sont différentes en K-1. OU dit autrement, K-1 est la dernière place ou les deux suites sont différentes. 

7/Je pars du fait que tous les mathématiciens avant K-1 voient K-1, et donc connaissent K. Ensuite tous les suivants ne connaissant pas leur propose numéro, savent qu'ils sont soit K-1 soit un nombre quelconque de la suite représentative. 
8/ Occupons-nous abord des K-2 premiers. La file allant de 1 à K-1 est une suite de nombre fini, on peut donc réutiliser l'astuce du niveau 1: le premier mathématicien se sacrifie et indique 0 si la suite est paire, et 1 si la suite est impaire. Puis de ce qu'ils entendent et de ce qu'ils voient devant eux jusqu'à K, les K-2 premiers participants peuvent déduire leur propre nombre. 
9/ Le numéro K-1 ne connait pas K, puisqu'il a devant lui la suite représentative sans faute. Il sait qu'il est soit dans K, soit K-1. Il ne sait même s'il est le premier à avoir ce dilemme. 
Il peut supposer
i/ qu'il appartient à la suite représentative, mais dans ce cas comme K-1 est forcément différent de la suite représentative, il perd. 
ii/ qu'il est K-1, dans ce cas il peut déduire son numéro de la parité de la suite de 1 à K-1.
Dans le cas (i), comme il perd, les mathématiciens peuvent en déduire qu'il était K-1, et donc que tout le reste d'entre eux appartiennent à la suite représentative. Il n'y au final que deux mathématiciens en prison. Fin. 
Dans le cas (ii), puisqu'il gagne, il ne donne aucune info au suivant. 
10/ Dans le cas ou K-1 gagne, K a le même dilemme que K-1 (suis-je K-1 ou un membre de la suite représentative ?), mais sa décision à d'autres conséquences. S'il suppose :
(i) qu'il appartient à la suite représentative, dans ce cas, il gagne, mais ne donne aucune information au suivant. 
(ii) qu'il est K-1, mais comme il n'appartient pas à la suite de 1 à K-1, l'information de la parité ne l'aide pas, et c'est juste une question de chance s'il tombe juste ou pas. 
Encore une fois, s'il perd tous les suivants en déduisent qu'ils font partie de la suite représentative et gagnent, mais s'il gagne, le suivant a toujours un dilemme qui peut le faire perdre. 
11/ Donc quoiqu'il arrive, quelqu'un perdra à un moment, ce qui permettra aux autres de gagner. 
Au final, deux perdants potentiels, le N1, et disons le NK-1 si les mathématiciens prennent la décision de se sacrifier le plus tôt possible. 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0
Quote
6 hours ago, Freddy said:

Je vais prendre une aspirine et je reviens (ou pas).

 

Oui je sais désolée, non seulement le principe n'est pas simple, mais en plus j'ai eu beaucoup de mal à l'expliquer 😅

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0

Bravo Enigme2Labo, tu y es presque.

Révélation

Effectivement, l'astuce est de combiner avec la stratégie dans le cas fini. Il faut juste "recoller" un peu plus proprement en ce que tu appelles k-1 pour qu'un seul mathématicien se trompe (au plus).

 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites
  • 0

Je suis toujours bloquée sur la dernière étape de cette énigme... 

Spoiler

Pour recoller les morceaux entre la partie finie et infinie, je crois qu'il faut que les mathématiciens prennent conscience qu'ils sont dans la partie infinie, pour qu'il puisse suivre avec confiance la suite représentative. Or pour passer cette info, je ne vois guère d'option autre que quelqu'un se trompe (par exemple à la transition). J'ai donc toujours au moins deux mathématiciens qui se trompe, le premier qui donne la parité, et le deuxième qui marque la transition... 

 

Partager ce message


Lien à poster
Partager sur d’autres sites

Créer un compte ou se connecter pour commenter

Vous devez être membre afin de pouvoir déposer un commentaire

Créer un compte

Créez un compte sur notre communauté. C’est facile !

Créer un nouveau compte

Se connecter

Vous avez déjà un compte ? Connectez-vous ici.

Connectez-vous maintenant

  • En ligne récemment   0 membre est en ligne

    Aucun utilisateur enregistré regarde cette page.

×
×
  • Créer...

Information importante

En utilisant ce site, vous acceptez notre Politique de confidentialité et nos Conditions d’utilisation
Nous avons placé des cookies sur votre appareil pour aider à améliorer ce site. Vous pouvez choisir d’ajuster vos paramètres de cookie, sinon nous supposerons que vous êtes d’accord pour continuer.