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l'homme

Les nombreux mathématiciens (niv 2)

Énigmes

Dans un pays lointain, il y avait une infinité dénombrable de mathématiciens qui étaient tous en prison.

Un jour, le gardien qui était aussi un vendeur de chapeaux leur dit:

Demain, une fois que vous vous serez rangés en rang, je vous mettrai à chacun soit noir soit blanc sur la tête, de sorte que vous ne voyiez que les chapeaux de ceux qui seront devant vous.

Puis, un par un, vous direz de quelle couleur vous pensez avoir un chapeau. Si vous trouvez, je vous libère. Sinon, je vous remet en prison.

Le lendemain, seul un mathématicien resta en prison.

Comment ont-il fait?

 

Bon courage, c'est un poil plus dur :) 

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37 réponses à cette énigme

Messages recommandés

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Révélation

La seule solution que je vois c'est qu'ils se sont passés le mot. Sauf le dernier dont personne ne voit le chapeau. Ils ont beau être mathématiciens, ils vont difficilement trouver un ordre dans la répartition des chapeaux qui semble complètement aléatoire.

 

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Si, on peut se débrouiller pour surmonter l'aléatoire. Pour t'inspirer, tu peux regarder la solution de l'énigme niveau facile postée sous le même nom.

 

Bon courage!

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Est ce que je peux supposer que chaque mathématicien est capable de calculer la moyenne des chapeaux (noir 0 blanc 1) qu'il voit devant lui? 

 

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On suppose que chaque mathématicien a un niveau infini en mathématiques. Il peut faire tous les calculs qu'il veut en temps fini.

En revanche, il est impossible de calculer la moyenne d'une infinité de nombres, car pour calculer une moyenne il faut calculer une comme, et il se peut que cette somme ne converge pas. Exemple: il y a un blanc, puis trois noirs, puis neuf blancs, puis vingt-sept noirs, .... , puis 3^n blancs...

Le calcul de la moyenne va faire n'importe quoi. 

Bon courage!

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Une idée de réponse qui demande un peu de coordination : la veille, les mathématiciens conviennent d'un code sur le chapeau de la personne suivante dans le temps d'attente qui précède la réponse. Par exemple attendre 5 secondes = chapeau blanc, 10 secondes = chapeau noire. De cette manière seule le premier mathématicien donnera sa réponse au hasard. 

 

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Au cas où ma réponse ne soit pas claire, si je suppose que le début de la file est 1 - noir 2 - noir 3 - blanc 4 - noir

1 - attend 10 secondes puis dit au hasard blanc : se fait éliminer. 

2 - attend 5 secondes puis dit noir (puisque précédent temps d'attente = 10s)

3 - attend 10 secondes puis dit blanc

4 - attend (temps correspondant à la couleur du chapeau suivant) puis dit noir. 

 

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D'ailleurs je me rends compte maintenant qu'il y a plein d'autres façons de faire passer le message, par exemple varier voix grave/aigue, varier réponses rapide/lente, voir varier la forme de la phrase 'j'ai un chapeau noir' vs ''mon chapeau est blanc', etc... 

 

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Effectivement ça marche mais ce n'est pas la réponse attendue. Ce serait un peu facile Il s'agit d'une énigme logique, pas d'une devinette. Dans ce genre d'énigmes on suppose que les mathématiciens n'ont aucun moyen de communiquer autrement qu'en disant blanc ou noir. J'ai oublié de le préciser dans l'énoncé toutes mes excuses.

On attend donc un raisonnement logique (comme pour le niveau facile si ça peut vous inspirer).

  • Au top ! 1

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Une question, est ce qu'il faut avoir des compétences un peu avancées en math pour répondre 

Spoiler

Plus avancées qu'avec la première énigme avec la question de parité.

 

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Bon... 

Spoiler

Je crois avoir compris l'axiome du choix. Cad je peux trouver une fonction f qui a tout ensemble de 0 et de 1 associe un élément de cet ensemble. i.e. si l'ensemble ne contient que des 0, 0; si l'ensemble ne contient que de 1, 1; et sinon 0 ou 1. Il me semble par exemple que la fonction qui associe à tout ensemble f:{N0,N1}->(N1>0) marche dans ce sens (N0 et N1 étant respectivement le nombre d'éléments 0 et 1 de l'ensemble). 

Mais... Ce ne m'aide pas à répondre à la question 😭!

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Non, ce n'est pas tout à fait dans ce sens qu'il faut comprendre l'axiome du choix.

Cet axiome dit que:

Si on a E un ensemble infini d'ensemble infinis, alors on peut créer une fonction f qui à un ensemble y de E associe un élément x de y.

Un axiome est une assertion évidente non démontrable mais supposée vraie pour commencer à construire les mathématiques. Ce sont les briques premières des mathématiques. Il y en a une dizaine

Cet axiome semble évident et découler du "bon sens". Pourtant, certains mathématiciens refusent de l'admettre, et cette énigme permet un peu de comprendre pourquoi cet axiome est peut-être trop fort.

Révélation

Dans un ensemble de 0 et de1,il n'y a que deux éléments. Ce ne sont pas les hypothèses de l'axiome du choix.

 

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Et

Spoiler

"Si on a E un ensemble infini d'ensemble infinis": par exemple l'ensemble infini de l'ensemble des chapeaux moins le nième? = les ensembles des chapeaux que connaissent Chacun des mathématiciens ? 

 

Modifié par Enigme2Labo

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Bonjour. Cette énigme semble a priori impossible à résoudre...

Supposons qu'on numérote les mathématiciens à l'aide d'entiers : 1, 2, 3, ...

Quelques questions :

  • La veille, les mathématiciens ont-il le droit de se concerter pour se mettre d'accord sur la stratégie à adopter ?
  • Après s'être mis en rang, les mathématiciens regardent-ils tous dans la même direction ?
  • Un mathématicien voit-il tous les mathématiciens qui ont un numéro plus grand que le sien ?
  • Un mathématicien a-t-il l'impossibilité de voir un mathématicien dont le numéro est plus petit que le sien ?
  • Les mathématiciens donnent-il leur réponse successivement, dans l'ordre croissant des numéros ?
  • Le gardien rend-il la sentence concernant un mathématicien immédiatement après que ce mathématicien ait donné sa réponse et avant que les mathématiciens suivants donnent leur réponse ?
  • La réponse d'un mathématicien et la sentence correspondante sont-elles connues des autres mathématiciens ?
  • Les mathématiciens ont-il une mémoire infinie et une capacité de calcul infinie et infiniment rapide ?
Révélation

Supposons maintenant que ces questions reçoivent toutes une réponse positive et essayons d'établir une stratégie pour libérer tout le monde (ou presque).

 

Le premier mathématicien va donner sa réponse : blanc ou noir.

Le gardien va rendre sa sentence : prison ou liberté.

 

Si les autres entendent "blanc" puis "prison", ils savent que le premier mathématicien porte un chapeau noir.

Il y a 4 combinaisons possibles : blanc+prison ou blanc+liberté ou noir+prison ou noir+liberté.

Dans tous les cas, après que les deux aient parlé, tout le monde connait la couleur du chapeau porté par le mathématicien 1.

 

On se rend compte alors qu'au moment où un mathématicien s'exprime, il connaît la couleur du chapeau de tous les autres mathématiciens :

  • Ceux qui ont parlé avant lui car il a tout écouté et enregistré.
  • Ceux qui vont parler après lui car il les voit directement.

C'est un peut comme si chaque mathématicien, au moment de s'exprimer, voyait tous les chapeaux sauf le sien.

Voilà pour le point de départ.

 

Le premier mathématicien à s'exprimer n'a aucune information le concernant, il ne peut pas savoir ce qu'il a sur la tête.

Après avoir donné sa réponse, s'il a de la chance, il sera libéré. S'il n'a pas de chance, il repartira en prison (et d'après l'énoncé, il n'a pas de chance).

Ce mathématicien doit donc se sacrifier et donner une réponse qui va aider les autres à répondre correctement.

 

Il pourrait donner la couleur du chapeau du mathématicien 2.

Cela aiderait le mathématicien 2. Mais pas les autres mathématiciens !

 

Comment peut-il indiquer instantanément à tous les autres mathématiciens la couleur du chapeau qu'ils portent sur la tête ?

Il pourrait dire par exemple : "Je vois un nombre pair de chapeaux blancs".

Ou bien : "Je vois un nombre impair de chapeaux blancs".

 

S'il porte un chapeau blanc et s'il dit qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs, alors tous les autres mathématiciens déduisent immédiatement (lorsque vient leur tour de s'exprimer) qu'il y a un nombre impair de chapeaux blancs en tout. Et en fonction de ce qu'ils voient (puisqu'on peut considérer qu'ils voient tous les chapeaux sauf le leur) ils en déduisent ce qu'ils ont sur la tête.

 

Bien sûr ce premier mathématicien ne peut pas dire qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs. C'est là qu'une concertation préalable entre les mathématiciens est nécessaire. Il se mettent d'accord sur un code. Par exemple : si le premier dit "blanc" cela signifie qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs. S'il dit "noir", cela signifie qu'il voit un nombre impair de chapeaux blancs.

 

Cela suppose aussi que la notion de nombre pair ou impair de chapeaux blancs est une notion qui a du sens sur un nombre potentiellement infini de chapeaux blancs. Tous les mots de l'énoncé ont leur importance, et quand on relit la première phrase, il est bien question d'une infinité dénombrable de mathématiciens. Si le nombre de mathématiciens est dénombrable, alors le nombre de mathématiciens portant un chapeau blanc est dénombrable lui aussi et dire que ce nombre est pair ou impair, même s'il est infini, a du sens.

 

 

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Bonjour ! Alors j'ai demandé un peu d'aide à un collègue mathématicien. Il n'y a pas à priori de solution qui permette à ce qu'un seul mathématicien aille en prison (d'après lui, sauf si on compte sur la chance). Par contre, il existe une stratégie qui permette que seul un nombre fini de mathématicien aille en prison... Ce qui comparé à l'infinité de mathématicien restante, est plutôt pas mal. 

Modifié par Enigme2Labo

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Je vais essayer de vous présenter la réponse telle que je l'ai comprise. S'il y a des mathématiciens dans les parages, ne pas hésiter à corriger/compléter. 
 

Spoiler

1/ Il existe des suites qui sont identiques à partie d'un certain point
ex 111111111111111111....
et 011111111111111111....

mais aussi 0011111111111... 
2/ On peut construire une infinité de famille de suites qui sont identiques à partir d'un certain point, et toute suite appartient à une de ces familles. 
ex: Famille 1 : 01000000000... et 11000000000...
Famille 2 : 0111111111111... et 101111111111...
3/ Les mathématiciens peuvent se concerter à priori pour choisir une unique suite representative de chaque famille. 
4/ Lorsqu'ils sont dans la file, tous les mathématiciens connaissent leur place et voient la fin de la file. Ils connaissent donc la famille de suite à laquelle appartient leur suite. 
5/ Ils peuvent supposer que leur file suit la suite représentative de la famille. Puisque la file et la suite représentative appartiennent à la même famille, à partir d'un certain point K (certes inconnu), les deux suites sont identiques. 
6/ Tous les mathématiciens avant K, soit un nombre fini de mathématiciens ont une chance sur deux de trouver leur chapeau. 
Mais tous les mathématiciens après K, soit un nombre infini, trouveront leur chapeau de manière correcte ! 

Pour l'énigme, je peux supposer que les mathématiciens ont eu beaucoup de chance, et que la suite représentative rejoigne celle des chapeaux à K=2, seul le premier mathématicien se trompe, et tous les autres sont libérés. 

 

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Il y a 7 heures, Enigme2Labo a dit :

Bonjour ! Alors j'ai demandé un peu d'aide à un collègue mathématicien. Il n'y a pas à priori de solution qui permette à ce qu'un seul mathématicien aille en prison (d'après lui, sauf si on compte sur la chance). Par contre, il existe une stratégie qui permette que seul un nombre fini de mathématicien aille en prison... Ce qui comparé à l'infinité de mathématicien restante, est plutôt pas mal. 

 

Tiens c'est bizarre, j'ai l'impression au contraire que la stratégie que j'ai donnée plus haut assure qu'il y aura 1 mathématicien en prison si on n'a pas de chance et 0 mathématicien en prison si on est chanceux. Mais dans tous les cas, jamais plus d'un mathématicien n'ira en prison.

Modifié par Freddy

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Hello Freddy, je n'avais pas relu ta réponse, mais elle pose un problème je pense :

Spoiler

As-tu jeté un coup œil au niveau 1 de l'énigme, le cas d'un nombre fini de mathématicien ? Dans ce cas, ta réponse est juste ! Le premier mathématicien peut donner l'information paire/impaire au reste du groupe. 
Mais ici, on a une suite infinie, et donc ce n'est pas possible de définir sa parité ! ex, quelle est la parité de la suite 1111111111111111111... ? Impossible de savoir s'il y a une qté paire ou impaire de 1, puisqu'ils sont infinis. 
Le cas d'un nombre infini de mathématicien est donc plus difficile, d'où mon recours à un vrai mathématicien 😅

 

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Oui, tu as raison @Enigme2Labo !

Révélation

Mon erreur vient d'une mauvaise compréhension du mot "dénombrable".
Mais dis-moi, c'est une vraie énigme pour mathématicien aguerri ça.

 

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Il y a une remarque à faire à propos de la solution de ton ami Enigme2Labo:

Révélation

"3/ Les mathématiciens peuvent se concerter à priori pour choisir une unique suite représentative de chaque famille. "

Cette étape est beaucoup plus puissante qu'elle n'en a l'air. En fait, il s'agit ni plus ni moins de l'axiome du choix. Cet axiome est si puissant et tendancieux qu'il n'est pas accepté par l'ensemble des mathématiciens aujourd'hui. Une petite minorité le pensent faux!

C'est cependant ainsi qu'il faut procéder

Ensuite, c'est un bon début, mais il reste à trouver la fin de la réponse!

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En réponse à Freddy:

Effectivement, le mot dénombrable est un faux ami.

Dénombrable, en mathématiques, veut dire en injection avec N.

  • J'aime 1

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