Les médailles

[Cybero 4 300]

Une énigme tirée des archives qui n'avait jamais trouvé solution à l'époque

Saurez-vous la résoudre aujourd'hui ?

 

 

Quatre médailles ont les particularités suivantes:

• Leurs diamètres s'expriment en nombres entiers de millimètres dont le plus grand est égal à la somme des trois autres.
• En outre, les trois plus petites peuvent être posées sur la plus grande, de telle sorte que chacune soit tangente aux trois autres.
• La partie non recouverte de la grande médaille est alors équivalente à un cercle inscrit dans un carré d'une surface de 4830 mm²

 

Quels sont les diamètres de ces 4 médailles?

 

Comme d'habitude, les premières réponses par Spoiler

 

Je m'y colle aussi

[godzi 647]

ça ressemble à une énigme avec des pizzas qu'on avait vue qu'il y a qq années

[godzi 647]

J'ai plus d'une centaine de solutions.... j'arrive pas à réduire (même avec Descartes)

Tu es sûr qu'il ne manque pas de contraintes ?

[petiseb 1 174]

J'en avais beaucoup aussi godzi, mais je n'avais pas bien fait attention à la deuxième condition :

 

• En outre, les trois plus petites peuvent être posées sur la plus grande, de telle sorte que chacune soit tangente aux trois autres.

C'est à dire qu'elles sont tangentes aux deux petites mais aussi à la grande.

Et là pour l'instant, je ne sais pas trop comment gérer cette tangence.

Après tu en as peut-être tenu compte de ton côté ...

Modifié 8 décembre 2014 par petiseb

[godzi 647]

ok j'ai trouvé : j'avais oublié de tenir compte du fait que le diamètre du cercle circonscrit aux 3 autres devait être entier aussi

 

15, 33, 40, 88

Modifié 8 décembre 2014 par godzi

[Cybero 4 300]

Je t'avoue que je n'ai pas encore pris le temps de chercher, je ne sais donc pas si tu as bon ou pas

[godzi 647]

si vous avez du mal, Soddy a fait des théorèmes intéressants....

je ne sais pas si c'est possible de trouver sans ça

[petiseb 1 174]

Hum, Soddy était bien le théorème qu'il me manquait.

Par contre, j'ai un problème, je passe de plusieurs solutions à aucune solution ...

Du coup, je me demande si j'ai bien compris la dernière affirmation.

 

On  nous dit que la surface non recouverte de la médaille correspond à la surface d'un cercle inscrit dans un carré de côté r , avec r² = 4830.

C'est bien cela ? 

[godzi 647]

oui c'est ça

 

sinon pose tes équations et je verrai déjà ce qui cloche

Modifié 15 décembre 2014 par godzi

[petiseb 1 174]

Mmmm, voilà où j'en suis :

 

Démo :

a b c d diamètres

 

a = b+c+d

 

carré = di *di = 2r*2r = 4r² = 4830

 

aire non recouverte = Pi * r² = 4830*Pi/4 

 

(a/2)²*Pi = (b/2)²*Pi + (c/2)²*Pi + (d/2)²*Pi + 4830*Pi/4

a²*Pi/4 = b²*Pi/4 + c²*Pi/4 + d²*Pi/4 + 4830*Pi/4

 

a² = b²+ c² + d² + 4830

 

(b+c+d)² = b²+c²+d² +4830

 

b² + c² + d² + 2bc + 2 bd + 2cd = b² + c² + d ² + 4830

bc + bd + cd = 2415

b(c+d) + cd = 2415

 

Théorème de soddy (Descartes) :

 

4 * (1/a² + 1/b²+ 1/c² + 1/d² ) = 1/2 * ( 2/a + 2/b + 2/c + 2/d)²

 

VBA 

For i = 1 To 100 Step 1

For j = 1 To 100 Step 1

For k = 1 To 100 Step 1

 

d = i + j + k

val1 = 2 / i * 2 / i + 2 / j * 2 / j + 2 / k * 2 / k + 2 / d * 2 / d

val2 = 1 / 2 * (2 / i + 2 / j + 2 / k + 2 / d) * (2 / i + 2 / j + 2 / k + 2 / d)

If ((i * (j + k) + j * k = 2415) And (val1 = val2)) Then

ActiveCell = i

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = j

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = k

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = d

ActiveCell.Offset(1, -3).Select

End If

 

Next k

Next j

Next i

 

 

 

Ce qui peut poser problème, ce sont les limites appliqués à mes rayons (<100 pour les 3)

Modifié 15 décembre 2014 par petiseb

[godzi 647]

c'est -2/a car le cercle a est externe aux 3 autres

 

4 * (1/a² + 1/b²+ 1/c² + 1/d² ) = 1/2 * ( -2/a + 2/b + 2/c + 2/d)²

 

Ta formule est valide pour calculer le cercle "interne" circonscrit :

 

 

et c'est donc normal que tu ne trouves pas de solution à cause des 2 autres conditions

Modifié 15 décembre 2014 par godzi

[petiseb 1 174]

Ah ok, merci godzi !!!

Juste pour une erreur de signe ^^

Je pensais que justement c'était l'inverse au niveau des signe avec wikipédia :

 

Le signe plus dans k = ±1/r s'utilise pour un cercle qui est tangent extérieurement aux autres cercles, comme les trois cercles noirs dans la figure ci-dessus. Dans le cas d'un cercle tangent intérieurement, comme le grand cercle rouge dans la figure, le signe moins est utilisé. 

 

Edit : Après relecture : "comme le grand cercle rouge" , je suis juste bête ^^

 

Bon bref, du coup j'ai bien un résultat

 

15, 33, 40, 88

 

Démo : 

a b c d diamètres

a = b+c+d

 

carré = di *di = 2r*2r = 4r² = 4830

aire non recouverte = Pi * r² = 4830*Pi/4 

 

(a/2)²*Pi = (b/2)²*Pi + (c/2)²*Pi + (d/2)²*Pi + 4830*Pi/4

a²*Pi/4 = b²*Pi/4 + c²*Pi/4 + d²*Pi/4 + 4830*Pi/4

 

a² = b²+ c² + d² + 4830

 

(b+c+d)² = b²+c²+d² +4830

 

b² + c² + d² + 2bc + 2 bd + 2cd = b² + c² + d ² + 4830

bc + bd + cd = 2415

b(c+d) + cd = 2415

 

Théorème de soddy (Descartes) :

4 * (1/a² + 1/b²+ 1/c² + 1/d² ) = 1/2 * ( -2/a + 2/b + 2/c + 2/d)²

 

VBA

For i = 1 To 100 Step 1

For j = 1 To 100 Step 1

For k = 1 To 100 Step 1

 

d = i + j + k

val1 = 2 / i * 2 / i + 2 / j * 2 / j + 2 / k * 2 / k + 2 / d * 2 / d

val2 = 1 / 2 * (2 / i + 2 / j + 2 / k - 2 / d) * (2 / i + 2 / j + 2 / k - 2 / d)

If ((i * (j + k) + j * k = 2415) And (val1 = val2)) Then

ActiveCell = i

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = j

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = k

ActiveCell.Offset(0, 1).Select

ActiveCell = d

ActiveCell.Offset(1, -3).Select

End If

 

Next k

Next j

Next i

 

Modifié 15 décembre 2014 par petiseb

[godzi 647]

c'est vrai que leur phrase n'était pas trop claire

[Cybero 4 300]

N'ayant pas la réponse et vous faisant confiance je dis que vous avez bon

[Cybero 4 300]

Personne d'autre ?

 

Dernière relance, dans quelques jours il sera trop tard 

[godzi 647]

à mon avis c'est bon

[timout 2 711]

si elle était non résolue à l'époque, c'est déjà bien que Godzi et petiseb aient trouvé la réponse

[Cybero 4 300]

Aller résolue !

 

Merci de penser à mettre une note à ce sujet