[Résolue] Pythagore, chien fidèle

[ribi 813]

Pythagore est un chien très sage qui aime bien son maître. Il apprécie d'habiter avec lui dans un grand parc où rien ne vient gêner ses déplacements.

Comme chaque jour, le maître sort tout droit par la porte de son château pour faire son jogging, en trottinant à la vitesse constante de 3 mètres par seconde. Pythagore est alors dans sa niche située à 80 mètres de la porte d'entrée, sur la façade rectiligne du château où habite son maître.

La position du chien et du maître au moment du départ est précisée sur le schéma suivant :

Dès que son maître sort, Pythagore court à sa rencontre, toujours à la vitesse de 5 mètres par seconde.

Le premier jour.

Pythagore, fonce tout droit vers la porte. Évidemment, le maître n'y est plus, il fait immédiatement un virage à angle droit pour le rejoindre. Cliquer pour voir l'animation (pas à l'échelle) :

Le deuxième jour.

Pythagore s'en veut d'avoir mis tant de temps à rejoindre son maître bienaimé. Pour faire honneur à son rang et à son nom, il décide d'aller tout droit dans la direction où la rencontre avec son maître sera la plus rapide possible. Cliquer pour voir l'animation :

Le troisième jour.

Pythagore, qui veut varier les plaisirs, et qui a entre temps lu un traité de mathématiques avancées, décide de rejoindre son maître par la courbe du chien.

Il adapte en permanence sa direction pour aller en direction de son maître tout en gardant la même vitesse que d'habitude. Cliquer pour voir l'animation :

Question : dans chacun des cas, (premier jour, deuxième jour, troisième jour) combien de temps faut-il à Pythagore pour rattraper son maître ?

N.B. : les deux premières énigmes sont faciles. Ces deux énigmes sont à traiter en priorité.

La troisième est très difficile et nécessite des moyens de calculs sophistiqués et longs. Je la laisse, d'une part parce que cette courbe s'appelle la courbe du chien, et d'autre part au cas où quelqu'un aurait une idée géniale pour simplifier le problème. En tout cas, comme Forumenigmes n'est pas le lieu où on résout des équations différentielles (a priori), je propose que pour cette troisième énigme on joue au jeu du plus petit ou plus grand pour trouver la solution...

[EurékA ! 2]

Les équations différentielles sont à notre programme cette année ... Donc il y a peut être quelque chose à faire. En fait, c'est une forme exponentielle non ?

[ribi 813]

Les équations différentielles sont à notre programme cette année ... Donc il y a peut être quelque chose à faire. En fait, c'est une forme exponentielle non ?

C'est beaucoup plus compliqué que ça. Il n'est pas du tout facile de trouver les bonnes variables à employer, et une fois qu'on a les bonnes variables, on obtient une équation différentielle non linéaire dont la solution n'est pas exponentielle.

Restons-en sur les deux premières énigmes, qui sont plus faciles.

[edwin14 17]

alors pour la premiére...

40 seconde

la 2

20 secondes

la 3

quelque part entre les 2 mais je dirais que c'est pas loin de 25 secondes

[ribi 813]

edwin14 c'est tout juste, y compris la troisième (en enlevant pas loin de)...

Celui qui voudra pourra donner les réponses (en particulier à la 1ere et la 2eme) avec les explications, avant que je mette l'énigme résolue.

[edwin14 17]

l'explications pour la 3... tu calcul le 1 et le 2 et tu balance un bon coup de pifométre et voila

[Neqqah 1]

Bon, je vais tenter de faire ça rapidement (Keppler m'appelle )

Pour la 1 :

Le chien mets 80/5 s pour arriver au point de départ du maitre, donc 16s. Ensuite, il doit rattraper le maitre, qui a 16*3=48mètres d'avance.

On cherche donc 5x=3x+48, avec x le temps nécessaire au chien pour rattraper son maître.

5x=3x+48 <=> 2x=48 <=> x=24

Le chien met donc 16+24s pour rattraper son maitre, soit 40s.

Pour la 2 :

Soit 3x la distance parcourue par le maître en x secondes, et 5x la distance parcourue par le chien pendant la même période (et 80 mètres, la distance pour aller jusqu'à la maison)

D'après le théorème de Pythagore,

(5x)²=(3x)²+80² <=> 25x²=9x²+ 6400 <=> 16x²=6400 <=> x²=6400/16=400 <=> x=20.

Le chien mets alors 20 secondes pour rejoindre son maître.

Voilà. Très scolaire non ?

Pour la troisième, je sais pas trop, je dirais plus proche de la deux que de la un par rapport à ce que j'ai vu sur http://subaru.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/chien.html ^^

Pour les motivés, have fun http://www.mathcurve.com/courbes2d/poursuite/poursuite.shtml

Modifié 14 juin 2011 par Neqqah

[ribi 813]

C'est très bien Neqqah...

On peut gagner une ligne de raisonnement pour la première, en constatant que chien et maître sont sur le même chemin coudé. Le chien a 80 mètres de retard, et gagne 2 mètres par seconde, donc il rattrape son maître en 40 secondes.

Pour la deuxième, on pouvait se douter qu'un coup de "3-4-5" marchait : (avec un triangle rectangle de côtés 60m, 80m, 100m). Les calculs disparaissent mais ce n'est pas plus court à expliquer.

Pour la troisième, au bout de calculs longs de mathématiques avancées, on arrive à trouver l'équation (ordonnée y en fonction de x) de la courbe du chien. Si l'on pose D=80 m (distance initiale), et k=3/5 (vitesse du maître divisée par celle du chien)

On obtient :

y = 1/2 * ( ( x^k+1/D^k -D)/(k+1)+( D^k/x^k-1 -D)/(k-1) )

Lorsque le chien atteint le maître :

x=0

donc le maître a parcouru :

D/2 *(1/(1-k)-1/(1+k)) = 80/2*(1/(2/5)-1/(8/5)) = 75 m

ce qui correspond bien à un temps de 25 s.