Les fous sont de sortie

[Freddy 141]

On considère un échiquier classique de taille 8x8 sur lequel on essaie de poser un maximum de fous de telle sorte qu'aucun fou ne puisse en manger un autre.

C'est à dire que deux fous ne doivent jamais se trouver sur la même diagonale.

 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fou_(échecs)

 

Par exemple la configuration ci-dessous n'est pas correcte car les fous F1 et F5 sont sur la même diagonale.

 

Question : combien de fous peut-on mettre au maximum sur l'échiquier ?

 

				F2
	F1
		F3
		F4
					F5

Edited November 8, 2020 by Freddy

[Cybero 3,453]

Comme ça je dirais

 

Révélation

 

8x2  = 16 diagonales possibles

2 sont communes (cases uniques) du coup 14 distinctes

Et donc 14 fous au maximum

 

 

[Freddy 141]

Bravo, c'est la bonne réponse je pense.

 

Révélation

Début de démonstration !

 

Je compte 15 diagonales dans un sens, et 15 diagonales dans l'autre sens, que je numérote comme ceci :

 

1/ 8\	2/ 9\	3/ 10\	4/ 11\	5/ 12\	6/ 13\	7/ 14\	8/ 15\
2/ 7\	3/ 8\	4/ 9\	5/ 10\	6/ 11\	7/ 12\	8/ 13\	9/ 14\
3/ 6\	4/ 7\	5/ 8\	6/ 9\	7/ 10\	8/ 11\	9/ 12\	10/ 13\
4/ 5\	5/ 6\	6/ 7\	7/ 8\	8/ 9\	9/ 10\	10/ 11\	11/ 12\
5/ 4\	6/ 5\	7/ 6\	8/ 7\	9/ 8\	10/ 9\	11/ 10\	12/ 11\
6/ 3\	7/ 4\	8/ 5\	9/ 6\	10/ 7\	11/ 8\	12/ 9\	13/ 10\
7/ 2\	8/ 3\	9/ 4\	10/ 5\	11/ 6\	12/ 7\	13/ 8\	14/ 9\
8/ 1\	9/ 2\	10/ 3\	11/ 4\	12/ 5\	13/ 6\	14/ 7\	15/ 8\

 

Soit 30 diagonales en tout.

Il est clair que chaque fois qu'on pose un fou, on condamne au moins 2 diagonales.

Donc il est évident qu'il est impossible de poser plus de 15 fous.

 

Cependant, il y a des cas où plus de 2 diagonales sont condamnées.

En particulier, lorsqu'on pose un fou dans la diagonale 8\ on condamne  les diagonales 1/ et 15/, même le fou n'est ni sur 1/ ni sur 15/.

De même, lorsqu'on pose un fou dans la diagonale 8/ on condamne  les diagonales 1\ et 15\.

Chaque fou posé sur la diagonale 8/ ou 8\ condamne donc 3 ou 4 diagonales.

Mieux vaut n'en condamner que 3 en posant des fous dans les coins.

Mais une chose est certaine : étant donné que les deux diagonales principales condamnent au moins 2 autres diagonales, il n'est pas possible de poser plus de 14 fous.

 

Reste à trouver une configuration qui marche avec 14 fous, ou bien démontrer que 14 fous n'est pas possible non plus !

A suivre...

 

Edited November 8, 2020 by Freddy

[Cybero 3,453]

J'ai été un peu vite à mon avis c'est un hasard que je sois arrivé à la bonne réponse  

[Zero 7]

Spoiler

A l'intuition je dirai 14

 

[Freddy 141]

Exact Zero. Personne pour faire un petit dessin ?

[Zero 7]

Spoiler

Mon raisonnement : il y a 15 diagonales et maximum 1 fou par diagonale donc maximum 15 fous

+--------+
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
+--------+

Impossible de placer un fou sur les deux diagonales extrêmes en même temps sans se chevaucher, donc max. 14 fous

+--------+  +--------+
|       \|  |       X|
|        |  |      / |
|        |  |     /  |
|        |  |    /   |
|        |  |   /    |
|        |  |  /     |
|        |  | /      |
|\       |  |X       |
+--------+  +--------+

On peut mettre 8 fous en haut

+--------+
|oooooooo|
|/XXXXXX\|
|//XXXX\\|
|///XX\\\|
|////\\\\|
|///  \\\|
|//    \\|
|/      \|
+--------+

Puis 6 en bas

+--------+
|oooooooo|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|/oooooo\|
+--------+

-> 14 fous, ça passe

 

 

[Cybero 3,453]

 

 

@Freddy si besoin:

 

Comment marquer une énigme résolue (choisir une meilleure réponse)

 

Mais à toi de voir si tu veux encore laisser d'autres chercher, une fois une énigme marquée comme résolue, elle n'apparait plus dans la liste des non résolues

(Logique mais je précise )