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Freddy

Les fous sont de sortie

Question

On considère un échiquier classique de taille 8x8 sur lequel on essaie de poser un maximum de fous de telle sorte qu'aucun fou ne puisse en manger un autre.

C'est à dire que deux fous ne doivent jamais se trouver sur la même diagonale.

 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fou_(échecs)

 

Par exemple la configuration ci-dessous n'est pas correcte car les fous F1 et F5 sont sur la même diagonale.

 

Question : combien de fous peut-on mettre au maximum sur l'échiquier ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Edited by Freddy

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7 answers to this question

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Comme ça je dirais

 

Révélation

 

8x2  = 16 diagonales possibles

2 sont communes (cases uniques) du coup 14 distinctes

Et donc 14 fous au maximum

 

 

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  • 0

Bravo, c'est la bonne réponse je pense.

 

Révélation

Début de démonstration !

 

Je compte 15 diagonales dans un sens, et 15 diagonales dans l'autre sens, que je numérote comme ceci :

 

1/

8\

2/

9\

3/

10\

4/

11\

5/

12\

6/

13\

7/

14\

8/

15\

2/

7\

3/
8\

4/
9\

5/

10\

6/

11\

7/

12\

8/

13\

9/

14\

3/

6\

4/

7\

5/

8\

6/

9\

7/

10\

8/

11\

9/

12\

10/

13\

4/

5\

5/
6\

6/

7\

7/

8\

8/

9\

9/

10\

10/

11\

11/

12\

5/

4\

6/

5\

7/

6\

8/

7\

9/

8\

10/

9\

11/

10\

12/

11\

6/

3\

7/

4\

8/

5\

9/

6\

10/

7\

11/

8\

12/

9\

13/

10\

7/

2\

8/

3\

9/

4\

10/

5\

11/

6\

12/

7\

13/

8\

14/

9\

8/

1\

9/

2\

10/

3\

11/

4\

12/

5\

13/

6\

14/

7\

15/

8\

 

Soit 30 diagonales en tout.

Il est clair que chaque fois qu'on pose un fou, on condamne au moins 2 diagonales.

Donc il est évident qu'il est impossible de poser plus de 15 fous.

 

Cependant, il y a des cas où plus de 2 diagonales sont condamnées.

En particulier, lorsqu'on pose un fou dans la diagonale 8\ on condamne  les diagonales 1/ et 15/, même le fou n'est ni sur 1/ ni sur 15/.

De même, lorsqu'on pose un fou dans la diagonale 8/ on condamne  les diagonales 1\ et 15\.

Chaque fou posé sur la diagonale 8/ ou 8\ condamne donc 3 ou 4 diagonales.

Mieux vaut n'en condamner que 3 en posant des fous dans les coins.

Mais une chose est certaine : étant donné que les deux diagonales principales condamnent au moins 2 autres diagonales, il n'est pas possible de poser plus de 14 fous.

 

Reste à trouver une configuration qui marche avec 14 fous, ou bien démontrer que 14 fous n'est pas possible non plus !

A suivre...

 

Edited by Freddy

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J'ai été un peu vite à mon avis c'est un hasard que je sois arrivé à la bonne réponse :red: 

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Spoiler

Mon raisonnement : il y a 15 diagonales et maximum 1 fou par diagonale donc maximum 15 fous


+--------+
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
|\\\\\\\\|
+--------+

Impossible de placer un fou sur les deux diagonales extrêmes en même temps sans se chevaucher, donc max. 14 fous


+--------+  +--------+
|       \|  |       X|
|        |  |      / |
|        |  |     /  |
|        |  |    /   |
|        |  |   /    |
|        |  |  /     |
|        |  | /      |
|\       |  |X       |
+--------+  +--------+

On peut mettre 8 fous en haut


+--------+
|oooooooo|
|/XXXXXX\|
|//XXXX\\|
|///XX\\\|
|////\\\\|
|///  \\\|
|//    \\|
|/      \|
+--------+

Puis 6 en bas


+--------+
|oooooooo|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|XXXXXXXX|
|/oooooo\|
+--------+

-> 14 fous, ça passe

 

 

  • Bien joué ! 1

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