L’énigme des 11 pièces

[anareinrod 2]

Bonjour à toutes et à tous !

Je m’appelle Anaïs, 32 ans, franc comtoise; et avec une amie on se casse la tête depuis des jours sur une énigme niveau 5ème, que la prof de maths de sa nièce lui a envoyé:

 

"Disposer 11 pièces en 6 lignes d'exactement 4 pièces chacune.

Dessiner le résultat."

 

vous connaissez le résultat ? 🙂

merci d’avance !

 

Anaïs

 

 

•  

[Freddy 235]

Bonjour, oui, je vois une solution.

[Freddy 235]

Révélation

 

 

 

[Freddy 235]

Révélation

 

[Freddy 235]

Révélation

 

[Freddy 235]

Révélation

 

[Freddy 235]

A priori il n'y a pas d'autre solution.

[Cybero 4 299]

@anareinrod ça serait sympa de venir prendre connaissance des réponses apportées

[anareinrod 2]

Petit souci de connexion internet 

merci 🙏🤩🤩🤩 c’est parfait ça comme solution !

[Cybero 4 299]

Merci

 

Bien joué @Freddy !  

[Freddy 235]

Merci, avec plaisir.

 

Je me suis avancé un peu vite, il existe au moins une 5ème solution. Je vous explique où j'en suis dans mon cheminement et comment j'arrive à construire ces solutions. La démonstration est plus ou moins rigoureuse, mais je pense qu'elle tient à peu près la route. Des discussions sont possibles au niveau des dernières étapes qui mènent à la conclusion.

 

Révélation

Tout d'abord, je définis le degré d'une pièce comme étant le nombre de lignes qui la traversent.

Voir figure ci-dessous à titre d'exemple, avec les degrés indiqués.

 

On souhaite construire 6 lignes de 4 pièces.

Chaque ligne va contribuer à augmenter de 1 le degré de 4 pièces.

Par conséquent, la somme de tous les degrés, que je note S, doit être égale à 6*4 = 24.

 

Si toutes les pièces sont de degré 1, S=11.

Si toutes les pièces sont de degré 2, S=22.

Dans les deux cas, ça ne marche pas. Il faut au moins une pièce de degré supérieur à 2 pour résoudre ce problème.

 

On peut remarquer aussi que pour obtenir une pièce de degré 4, il nous faudrait 13 pièces.

 

 

Sauf que nous devons utiliser exactement 11 pièces. Donc le degré maximum autorisé est 3.

 

Je suppose également que toutes les pièces sont utilisées, c'est-à-dire que le degré 0 est interdit.

 

En résumé : La figure doit contenir uniquement des pièces de degré compris entre 1 et 3.

 

Je note di le nombre de pièces de degré i.

 

Nous avons :

• (a) d1 + 2d2 + 3d3 = 24 (somme des degrés)
• (b) d1 + d2 + d3 = 11 (nombre de pièces)
• (c) d3 > 0

D'où l'on déduit que d2 = 13 - 2d3           (a)-(b)

 

Maintenant je m'intéresse au nombre de pièces de degré 3.

 

Peut-on avoir d3=1 ? On aurait alors d2 = 13-2 = 11. Pas possible car nous n'avons que 11 pièces en tout.

Donc d3 > 1.

 

La figure doit contenir plusieurs pièces de degré 3.

 

Essayons maintenant de dessiner 2 pièces de degré 3 et les lignes qui les traversent.

Il y a 2 possibilités : soit les deux pièces sont sur la même ligne (cas A), soit elles sont sur des lignes distinctes (cas B).

 

 

A partir de là, je tente de placer une 3ème pièce de degré 3.

 

Sur la figure A, il reste une ligne à tracer. Comment la positionner pour pouvoir placer une nouvelle pièce de degré 3 ? Il faut que cette ligne passe sur un point d'intersection. En fait elle pourrait aussi passer par deux points d'intersection.

 

On essaie de résoudre A1 et A2.

 

A1 : Il y a 4 points d'intersection libres sur lesquels je peux mettre 4 pièces. Cela fait 7 pièces posées en tout, il m'en reste 4. Sauf qu'il manque une pièce sur chacune des 6 lignes. Il me faudrait encore 6 pièces. Impasse !

 

A2 : Je choisis la 6ème ligne de sorte qu'elle ne soit parallèle à aucune des 5 autres. Il y a 6 points d'intersection libres sur lesquels je peux mettre 6 pièces. Cela fait 9 pièces posées en tout, il m'en reste 2. Sauf qu'il manque une pièce sur chacune des 3 lignes extérieures. Il me faudrait encore 3 pièces. Impasse ! Et si la 6ème ligne est parallèle à une autre, j'ai encore moins de points d'intersection, j'ai besoin d'encore plus de pièces.

 

Le raisonnement est le même en plaçant la 3ème pièce de degré 3 sur un autre point d'intersection.

Notons aussi qu'en posant les pièces ailleurs que sur les points d'intersection, c'est encore pire.

 

Donc la configuration A ne peut pas accueillir une 3ème pièce de degré 3.

 

Le cas B est encore plus simple : j'ai déjà tracé mes 6 lignes et pas de point d'intersection de degré 3 en vue.

 

Dans tous les cas j'arrive à une impasse. Donc :

 

La figure ne peut pas contenir plus de deux pièces de degré 3.

 

Donc d3 = 2.

Donc d2 = 9.

Donc d1 = 0.

 

La figure doit contenir 2 pièces de degré 3 et 9 pièces de degré 2.

 

Revenons à nos figures A et B, et notamment à la figure A sur laquelle je dois tracer une dernière ligne et placer 9 pièces de degré 2. Qui dit pièce de degré 2 dit pièce placée sur un point d'intersection. Or avec une 6ème ligne il n'est pas possible de couper 2 fois la ligne située entre les deux pièces de degré 3. Donc il ne va pas être possible de mettre 4 pièces sur cette ligne. La configuration A n'est pas possible.

 

J'en déduis la chose suivante :

 

Les deux pièces de degré 3 ne doivent pas être sur une même ligne.

 

Et donc toute solution doit être de la forme B, qui possède exactement 9 points d'intersection libres.

Cependant, B présente plusieurs variantes et c'est là que ça se complique.

 

J'ai considéré qu'une pièce de degré 3 pouvait être localisée à l'intérieur ou à l'extérieur du faisceau de 3 lignes provenant de l'autre pièce de degré 3.

Malheureusement, cette notion n'a pas vraiment de sens si l'on considère des lignes infinies, et cette dernière étape mériterait une approche plus rigoureuse.

 

Je vous livre tout de même les configurations que j'ai pu construire (aux symétries près).

 

 

C'est à partir de ces configurations que l'on peut dessiner et proposer des solutions.

Je les regroupe ici en mettant les pièces de degré 3 en noir.

 

 

Il y en a peut-être d'autres. Une piste pour aller au bout serait d'étudier les propriétés de ces pièces noires.

Sont-elles en bout de ligne ? A l'intérieur d'une ligne ? Les deux à la fois ?

 

La suite dans un prochain message (peut-être)...

 

 

 

 

Modifié 21 décembre 2020 par Freddy

[timout 2 707]

tu t'amuses bien

[Freddy 235]

Disons que j'ai trouvé un os à ronger...

[Cybero 4 299]

Comme là ?

 

[Freddy 235]

Et de 7.

Révélation