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Sasorii

[Résolue] Enigme mathématique

Énigmes

Bonjour,

J'ai une enigme a vous proposer,

Jacques a quinze paire de chaussures, 15 gauches et 15 droites.

Il veut les déposer l'une a coté de l'autre sans qu'il y ait une intervalle de 10 chaussures contenant 5 gauches et 5 droites.

Exemple:

GGGGGGGGGGGGGGGDDDDDDDDDDDDDDD ==> La c'est pas bon parce que au milieu il ya une intervalle de 5 chaussure gauche et 5 droites.

La question:

Prouver moi mathematiquement que c'est impossible de les déposer l'une a coté de l'autre comme le veut Jacques.

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12 réponses à cette énigme

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J'ai beau lire et relire, je n'arrive pas à comprendre comment il souhaite disposer ses chaussures :1look2:

ça percute pas dans ma tête :fou2:

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Je trouve l'énoncé parfaitement clair.

Jacques veux que dans sa rangée de 30 chaussures, il n'y ait jamais 5 chaussures gauches et 5 chaussures droites dans 10 chaussures consécutives, ce qui est impossible.

Je laisse chercher. Je donnerai la solution d'ici quelques jours si personne ne la donne.

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Il veut faire une rangée de 30 chaussures :D

Sans qu'il y ait une intervalle de 10 chaussures avec 5 gauche et 5 droites

Ta compris?

le "ta compris" m'a fait sourire

15 ans, une future médaille Fields ?

Je regarde ça aujourd'hui.

Modifié par bvph

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Hum je ne sais pas si c'est la démonstration attendu mais avec comme on a le même nombre de chaussures D et G et uniquement 2 types de chaussures c'est impossible.

sur un intervalle de 30 on a 15 D + 15G sur un intervalle de 10 (30/3) on aura donc en moyenne 5 de chaque (15/3).

Donc même si sur certains intervalles de 10 il y aura + de D que de G (et réciproquement), il y aura forcément au moins un intervalle avec 5 de chaque.

Les cas extrêmes étant :

*chaussures alternés D et G où on aura 21 possibilités d'avoir 5 de chaque

*D d'un coté et G de l'autre où il n'y a qu'un seul lot de 10 contenant 5 de chaque (au milieu).

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Il doit y avoir une démonstration avec des inégalités et un peu plus de chiffres Kinder ^^. Mais dans le principe c'est ça je pense en effet :p

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Pour transformer cette énigme en problème avec "un peu plus de chiffres", il suffit de dénombrer les chaussures gauches parmi les 10 chaussures en partant de la numéro i :

Par exemple l'arrangement de chaussure

GGGGGGGGGGGGGGGDDDDDDDDDDDDDDD

donne

de 1 à 10, 10 chaussures gauches

de 2 à 11, 10 chaussures gauches

...

de 21 à 30, 0 chaussure gauche

c'est à dire la suite :

10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0

Et là, on comprend rapidement pourquoi il doit nécessairement y avoir un 5 (5 chaussures gauches et 5 chaussure noires) dans la suite :

Raisonnons par l'absurde, en supposant qu'il n'y ait pas de 5 dans la suite.

a. Il ne peut pas y avoir que des nombres inférieurs ou égaux à 4 sinon au total (le premier terme + le onzième terme + le vingt-et-unième) on aurait au plus 12 chaussures.

b. Il ne peut pas y avoir que des nombres supérieurs ou égaux à 6 sinon au total on aurait au moins 18 chaussures.

Donc on est sûr qu'il y a au moins un nombre supérieur ou égal à 6 et au moins un nombre inférieur ou égal à 4.

c.Les nombres de la suite sont liés, une chaussure à droite remplaçant une chaussure à gauche quand on se déplace d'une case. La suite ne peut donc varier que par saut de 1, -1 ou 0.

Pour passer de d'un nombre supérieur à 5 à un nombre inférieur à 5 (ou dans l'autre sens), en sautant au maximum de 1, il est impossible de ne pas passer par 5.

Conclusion : il y a forcément au moins un 5.

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Désolé tout le monde,

Enfaite je suis en examen depuis une semaine maintenant,

Et j'avais completement oublié ceci, je l'ai juste remarqué maintenant en recevant un mail :)

Sinon on a ici une bonne réponse effectivement,

Merci a tous!

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