Je veux savoir!

[ronath 12]

J'ai fait aujourd'hui un concours de mathématiques niveau quatrième (Concours René Merckhoffer), et je veux savoir si j'ai eu bon car l'attente sera longue avant d'avoir les réponses. Donc je fait appel à vous (et on verra quels sont ceux et celles qui ont conservés de bonnes bases du collège ). Pour info nous avions deux heures. Merci .

 

Exercice 1:

 

Des pyramides de Pascale

 

On appelle pyramide de Pascale un empilement de cases complétées de la manière suivante:

- on choisit deux nombres entiers positifs m et n ;

- le premier nombre de chaque ligne est égal à m (dans l'exemple ci-dessous m = 7) ; 

- le dernier nombre de chaque ligne est égal à n ( dans l'exemple ci-dessous n = 2) ;

- un nombre inscrit dans une case est égal à la somme des nombres inscrits dans les deux cases situées juste au-dessus.

 

1. a. Reproduire et compléter l'exemple de pyramide de Pascale ci-dessus.

    b. Pour chaque ligne, calculer la somme des nombres figurant sur celle-ci. Que remarque-t-on?

 

2. Si l'on considère la pyramide de Pascale associée aux nombres entiers m = 1 et n = 1, sur quelle ligne la somme des nombres sera-t-elle égale à 1024?

 

3. Prouver que, pour des nombres entiers m et n quelconques, la somme des nombres de la quatrième ligne est égale au double de la somme des nombres de la troisième ligne.

 

4. Compléter la pyramide de Pascale ci-dessous.

 

Exercice 2:

 

La frise

 

Christophe a découpé quarante formes identiques à celle représentée ci-dessous (figure 1).

Il a commencé à les assembler en une frise régulière (figure 2).

Lorsqu'il aura fini de poser la quarantième forme, quel sera le périmètre de la frise ainsi créée?

(les mesures non indiquées sont égales à 1cm)

 

Exercice 3:

 

Le tableau

 

On considère le tableau ci-dessous dont seulement quelques lignes - les premières - sont ici présentées, et certaines remplies.

Expliquer pourquoi le nombre 2014 figure dans ce tableau.

Déterminer la ligne et la colonne du tableau correspondant.

 

Exercice 4:

 

D'une distance à l'autre

 

On considère deux points A et B tels que : AB = 10.

Sur le segment [AB], on place le point C tel que : AC = 6 (et par conséquent : CB = 4).

D'un même côté de la droite (AB), on place les points D et E tels que : DC = DB = 3, EA = 8 et EC = 6.

Calculer la distance DE.

Modifié 3 avril 2014 par ronath

[bvph 1 076]

On n'est pas là pour faire tes devoirs ! On se croirait sur un forum Math/Sciences Lambda !!!!

 

Plus sérieusement, on va trouver le temps de te répondre.

C'est certain !

 

[ronath 12]

Si vous voulez je peux poster mes réponses pour vous aider. Et quant aux exercices, postez vos réponses sur plusieurs jours, car vous n'allez quand même pas passer deux heures sur une énigme, vous n'avez sûrement pas que ça à faire. Surtout qu'ils sont assez durs.

[bvph 1 076]

Je ne sais pas pourquoi j'ai mis une partie de ma réponse en spoiler : Lisez le

[ribi 811]

Beaucoup de questions me semblent fastidieuses. J'en donne une qui ne prend pas trop de temps :

 

Expliquer pourquoi le nombre 2014 figure dans ce tableau.

Déterminer la ligne et la colonne du tableau correspondant.

 

Chaque fois qu'on descend de deux lignes, les chiffres augmentent de 24

 

2014=83*24+22.

Donc 2014 se situe 83*2=166 lignes au dessous de 22. Il est donc sur le tableau comme tous les nombres qui suivent un multiple de 3.

Il est donc sur la colonne A (1^e colonne), et sur la 168^e ligne au-dessous de A (soit la 169^e ligne du tableau si on compte A en première ligne).

[ronath 12]

Merci ribi j'ai bien trouvé ces reponses pour l'exercice 3.

[pilou 0]

tu peux nous donner tes réponses ?

[ronath 12]

D'accord je les mets en spoiler. Cela reste une énigme, alors si vous ne voulez pas chercher et regarder mes réponses d'accord mais ne répondez pas. Il y aura quand même une meilleure réponse.

Exercice 1:

 

1.a.

   b.On remarque que le somme des nombres d'une ligne est égale au double de la somme des nombres de la ligne précédente.

2. On  trouvera 1024 sur la 10 ème ligne car 1+1=2 et 2 puissance 10 est égal à 1024.

3. J'ai mis que c'était prouvé à l'exercice précédent.

4.

 

Exercice 2:

 

Le périmètre de la frise sera de 330 cm.

 

Exercice 3:

 

Idem que ribi, mais j'ai mis 168ème ligne, colonne A.

 

Exercice 4:

 

La distance DE est égale à 4,5cm.

Et Bvph, c'est une bonne idée que vous fassiez mes devoirs à ma place 

[timout 2 703]

Exercice 3

Colonne C, les nombres sont croissants de 12 en 12

Ensuite selon la lignes les nombres sont croissants ou décroissants de 3, mais ca tu l'avais surement remarqué

Les 2 lignes suivantes seront donc

__ 49 52 55 __

70 67 64 61 59

....

Ligne 85 tu devrais avoir 2008 en colonne C et donc 2014 en colonne D

[timout 2 703]

Exercice 2

En prenant les 4 première formes on a une longueur de 11cm

En en ajoutant 4 autres on ajoute 10 cm

et ainsi de suite

Le total sera donc pour 40 formes

11+9(10) soit 101cm

[Thotym 0]

Bonjour,

J'ai moi aussi passé ce concours, voici les réponses que j'ai trouvées pour l'exercice 1, pas le temps de tout copier

1. a. Reproduire et compléter l'exemple de pyramide de Pascale ci-dessus.

J'ai trouvé ceci :

b. Pour chaque ligne, calculer la somme des nombres figurant sur celle-ci. Que remarque-t-on?

Première ligne : 9

Deuxième ligne : 18

Troisième ligne : 36

Quatrième ligne : 72

Cinquième ligne : 144

On remarque que à chaque fois qu'on descend d'une ligne, il suffit de multiplier par deux le résultat de la ligne précédente pour trouver celui de la ligne où on se situe.

2. Si l'on considère la pyramide de Pascale associée aux nombres entiers m = 1 et n = 1, sur quelle ligne la somme des nombres sera-t-elle égale à 1024?

Ce sera la 10ème ligne car :

Sur la première ligne, la somme des nombres inscrits sur cette ligne est de 2.

J'en déduis que sur la deuxième ligne, il sera de 4 car on doit multiplier par 2 à chaque fois.

On continue ainsi :

Troisième ligne : 8

Quatrième ligne : 16

5ème : 32

6ème : 64

7ème : 128

8ème : 256

9ème : 512

10ème : 1024

3. Prouver que, pour des nombres entiers m et n quelconques, la somme des nombres de la quatrième ligne est égale au double de la somme des nombres de la troisième ligne.

Pour cette question, il suffit de prendre des nombres quelconques et on trouvera toujours que la somme des nombres de la quatrième ligne est égale au double des nombres de la troisième ligne, pas besoin de vous faire un dessin...

4. Compléter la pyramide de Pascale ci-dessous.

Pour cette question, il faut remplir la case de gauche de chaque ligne de 3, selon la méthode, puis il faut trouver le nombre exact pour les cases de droite de chaque ligne, j'ai trouvé le nombre 7 :

Modifié 4 avril 2014 par Cybero

[ronath 12]

@théotime: présente toi dans la section appropriée avant de répondre et mets tes réponses en spoiler. Cela reste avant tout une énigme et les autres doivent chercher. De plus, je t'invite à lire les règles de la section énigmes.

Modifie donc ton message.

Modifié 4 avril 2014 par ronath

[ronath 12]

@timout: Pour les colonnes b et c, les nombres avancent de 6, puis 18, puis 6, puis 18 etc.. De plus à la colonne E il y a une erreur de ta part. Le nombre n'est pas 59 mais 58 car 34+24=58.

Pour l'exercice quatre il faut trouver le périmètre, sachant que celle ci en a un de 20 cm de base.

[Thotym 0]

Désolé ne ne pas avoir mis en Spoiler, je n'y avais pas pensé sur le coup mais je m'habituerai, sinon, comment on édite son message ? 

[timout 2 703]

Exercice 4

 

petit problème de géométrie

Calculer dans un premier temps Ee' et Dd' grace à Pythagore

on a donc (Dd')²=CD²+Cd' et (Ee')²=AE²+Ae'

Calculer DE revient donc à calculer

FE²+FD²=DE²

avec FE=Ee'-Dd'

FD=5

Tu as la forme littérale, je te laisse les calculs

 

[timout 2 703]

Oui, j'ai fait une erreur de frappe, c'est bien 58, mais la colonne C est bien incrémentée de 12 en 12 non ?

Et c'est surtout cela qui compte, ensuite on décrémente ou incrémente de 3 selon que l'on est sur une ligne paire ou impaire

4 - 16 - 28 - 40

[timout 2 703]

Les pyramides de Pascal

9-18-36-72-144

La somme est le double de la somme de la ligne précédente

On pourrait écrire la somme de chaque ligne sous la forme suivante

m+n

2(m+n)

4(m+n)

16(m+n)

 

[2^(L-1)](m+n) ou L est le numéro de la ligne

 

2-

si m=1 et n=1 on aura 2-4-8-16-32-64-128-256-512-1024

donc 10° ligne

 

3-

avec la formule citée tout à l'heure

[2^(L-1)]*(m+n)

avec la ligne suivante on a 

(2^L)*(m+n)

puis la suivante

[2^(L+1)](m+n)

soit 2*[2^L](m+n) donc le double

 

4-

Là il faut s'intereser au contenu des cases en fonction de leur position par rapport au bord ainsi qu'au numéro de ligne

si on reprend la pyramide avec les valeurs 7 et 2 on constate que

           m n

         m m+n n

      m 2m+n m+2n n

   m 3m+n 3m+3n m+2n n

m 4m+n 6m+4n 4m+6n m+4n n

pour le cas qui nous interesse on a m=3

6m+4n=46

donc n=7

après je te laisse compléter

[ronath 12]

J'ai trouvé comme toi au pyramides. Pour le 3 je trouve 2015 à la colonne D. Pour le deux je n'ai pas trouvé ça.

[Cybero 4 296]

Désolé ne ne pas avoir mis en Spoiler, je n'y avais pas pensé sur le coup mais je m'habituerai, sinon, comment on édite son message ? 

 

Tu peux éditer ton message 5 minutes après l'avoir envoyé le temps de te corriger ou autre

[timout 2 703]

....

Ligne 85 tu devrais avoir 2008 en colonne C et donc 2014 en colonne D

Effectivement ce n'est pas 2014 en colonne D, mais en colonne E vu que cela va de 3 en 3

[ronath 12]

En colonne E c'est 2002 ou 2026 mais pas 2014

[timout 2 703]

ok, je revoie ca ce soir

C'est vrai que je n'ai pas vérifié

[timout 2 703]

Autant pour moi, j'ai compris mon erreur

En prenant comme repère la colonne C = n° de ligne * 12 +4

Pour les lignes paires : colonne B = C-3 et D =C+3

Pour les lignes impaires colonne B = C+3, A = C+6 D=C-3 et E=C-6

Ce n'est donc pas en colonne E que l'on a 2014 mais en colonne A

Exemple à l'appui

[ronath 12]

Bonne réponse de timout pour l'exercice 3   Tu n'as plus qu'à revoir l'exercice 2 et tu as tout bon

[ronath 12]

Pour le 4 j'avais fait : 

[timout 2 703]

Ah oui, j'ai calculé la longueur au lieu de calculer le périmètre :

Le principe reste le même j’imagine

Le périmètre pour les 4 premières pièces fait 42cm

Si on ajoute 4 pièces on perd 5cm et on ajoute 37cm donc 32cm

au total ca devrait donc faire 42cm+9*(32) donc 330cm

C'est ca ?