l'énigme d'Ouroboros

[Jungleseed 2]

Voilà: il faisait beau ce matin, et notre ami Serpent à décidait de franchir l'infini en longeant chaque nombre comme le montre l'image, trop un ouf!!

 

. Seulement, le mauvais temps se mêle à l'expérience. Il commence à pleuvoir... les nuages sont d'un gris très menaçant....

Sachant que Serpent pourra prendre le métro à l'arrivée, son souci est de rejoindre zéro ou l'infini le plus vite possible. Il sort son portable (il a choisi le coup de téléphone!) et nous appelle:" jusqu'à quel nombre peut-on encore faire demi-tour pour éviter un max de pluie?"

[yeujik 1 395]

Oui, j'aimerai bien avoir la vision d'un de nos mathématiciens du forum, parce que la il y a des choses qui m'échappent. C'est dommage parce que l'énigme est intéressante

[Cybero 4 300]

 

ribi ?  

[godzi 647]

Je ne comprends pas pourquoi il faudrait intégrer... la longueur du chemin parcouru n'est-elle pas égale à n(n+1)/2 + m où  n est le nombre lu par Serpent et m l'offset

[Jungleseed 2]

Si, effectivement, mon premier calcul au contact de cette énigme était celui là.

Mais l'intégration donne un résultat précis rapidement. On peut remarquer que n(n+1)/2 est sensiblement égal à une intégrale de x= x²/2 vers l'infini!

 

[ribi 816]

Le problème est mal posé. Voici ce que je proposerais (si j'ai bien compris)

Voilà: il faisait beau ce matin, et notre ami Serpent à décidait de franchir un très long parcours en longeant chaque nombre comme le montre l'image, trop un ouf!!

. Seulement, le mauvais temps se mêle à l'expérience. Il commence à pleuvoir... les nuages sont d'un gris très menaçant....

Sachant que Serpent pourra prendre le métro à l'arrivée, dès qu'il pleut, son souci est de revenir, quoi qu'il arrive, et de la façon la plus courte, au point de départ ou à l'arrivée (qui correspond à un nombre N très grand) le plus vite possible. Il sort son portable (il a choisi le coup de téléphone!) et nous appelle:" jusqu'à quel nombre n dois-je faire demi-tour pour rester le moins possible sous la pluie ?"

Parler de l'infini comme un nombre conduit à des impossibilités logiques qui ont bien été notées...

Résolution du problème :

on cherche le numéro n sur le milieu du parcours. On doit avoir : 1+2+3+4+...n = (1+2+3+4+...N)/2

n(n+1)/2 = (N(N+1)/2)/2.

Ne chipotons pas : si N est grand, n aussi est grand : n² = N²/2 à des termes très petits (par rapport à n²) près: n=N/√ 2.

En gros, le serpent continue tout droit si le nombre marqué sur sa route a dépassé N/√ 2. Sinon, il fait demi-tour.

Pour ceux qui veulent chipoter résolvons n(n+1)=X avec X=N(N+1)/2 :

n²+n-X=0 => n=(-1+√ (1+4X))/2 = (-1+√ (1+2N(N+1)))/2 = -1/2+N/√ 2.√(1+1/N+1/(2N²)) = -1/2+N/√ 2 .(1+1/(2N) +o(1/N)) = N/√ 2-1/2+1/(2√ 2) + o(1)

-1/2+1/(2√ 2) = -0.146, c'est vraiment chipoter...

Pour godzi :

si on appelle x  la distance parcourue et n  le numéro de la route, on peut être tenté de transformer le problème en un problème continu car 1 est très petit par rapport à l'ensemble de la distance parcourue.

La variation dn=1 correspond à une distance dx=n (unité de distance entre deux blocs)
donc dx=n.dn. Si on passe à un modèle continu (avec dn infiniment petit au lieu de 1) :
∫dx=∫n.dn = n²/2
la distance totale parcourue est bien une intégrale.

Modifié 6 novembre 2015 par ribi

[petiseb 1 174]

Ah oui, dans tout ça j'en avais oublié que c'était la somme d'une suite  

Merci pour la solution chef des maths, c'est tout de suite plus clair  
Le coup du N tendant vers l'infini permet du coup de virer les chiffres superficiels  

Modifié 6 novembre 2015 par petiseb

[Cybero 4 300]

Faudra que je relise tout ça à tête reposée  

[godzi 647]

Ah parcequ'il existe une arrivée?

Merci ribi, j'ai déjà vu ça en cours d'analyse mais j'ai pratiquement tout zappé :red:

[godzi 647]

Jungleseed ?

[Jungleseed 2]

Yes? L'explication posée par Ribi est bien, l'énigme résolue...

[Cybero 4 300]

Dans ce cas, merci choisir la meilleure réponse à ton sens à cette énigme

Comment ? Comme >> ça <<

[Ohjsd 0]

Merci beaucoup pour ces renseignements... !