[Résolue] Le plus court chemin dans un triangle

[Cybero 4 300]

Soit un triangle ABC quelconque.

Placer le point x telle que la distance totale des segments [Ax] + [bx] + [Cx] soit la plus petite possible

[Milou74 59]

Il me semble que X devrait se trouver au centre de gravité du triangle

[timout 2 711]

X devrait etre le barycentre du triangle

Donc a l'intersection des medianes

Les medianes etant les droites partant d'un sommet pour aller au milieu du cote oppose.

Desole pas de dessin

[timout 2 711]

X devrait etre le barycentre du triangle

Donc a l'intersection des medianes

Les medianes etant les droites partant d'un sommet pour aller au milieu du cote oppose.

Desole pas de dessin

[ribi 816]

Les trois précédents (Milou et timout ) ont faux.

Par exemple pour le triangle ABC suivant, isocèle en C, et où la base AB mesure 20 unités et la hauteur 3 unités :

Si l'on prend pour point x le point C :

AC^2=109 (Pythagore)

AC=10,44=BC

AC+BC+CC=20,88

Si l'on prend pour point x le point G, intersection des médianes et centre de gravité :

AG^2=101 (Pythagore) (le barycentre est au tiers de la hauteur)

AG=10,05

CG=2

AG+BG+CG= 22,10

Conclusion, le point G est moins bon que le point C ; pour un triangle très aplati, la meilleure solution est de placer x sur le sommet d'angle le plus grand.

Je crois connaître la démonstration complète à ce problème sauf que je fais un calcul de dérivée (avec des complexes pour raccourcir les calculs)... Cela ne doit pas être ce qu'attend Cybero.

Modifié 1 juillet 2011 par ribi

[godzi 647]

+1, le point X n'est confondu avec le barycentre que dans les triangles équilatéraux.

Pour les autres triangles, X doit vérifier angle(AXB) = (BXC) = (CXA) = 120°.

J'ai essayé de faire une ébauche de démo...

[timout 2 711]

en effet j'avais mal lu l'enoncé

[djino 2 391]

Conclusion, le point G est moins bon que le point C

Pas sûr

Mais bon, les maths c'est pas trop mon truc

[godzi 647]

un petit dessin

[timout 2 711]

La je tire mon chapeau, belle demonstration

[Cybero 4 300]

Bonne réponse de godzi, c'est la construction que j'attendais

[ribi 816]

Petite remarque : cette construction n'est valable que si le plus grand angle du triangle est inférieur à 120°...

[Cybero 4 300]

Hummm oui tout à fait. J'aurais du le préciser dans l'énoncé