Il manque d'aire !

[Zeus 116]

Quelle est l'aire du dernier triangle ?

 

 

 

réponse en spoiler

Modifié 11 août 2016 par Zeus

[Freddy 235]

Je donne une démonstration possible, avec tous les détails pour rendre la chose facilement compréhensible.

 

Révélation

Tout le monde sait que la surface S d'un triangle quelconque est donnée par la formule S = base * hauteur / 2.

Avec le triangle ci-dessous, ça donne S = AB * h / 2.

 

 

En remarquant que sin(a) = h/AC, la formule peut s'écrire : S = AB * AC * sin(a) / 2.

 

On va utiliser cette formule pour mettre en équations le problème à résoudre.

 

Afin de simplifier les équations, je vais noter les longueurs des segments de la manière suivante : a=ZA, b=ZB, c=ZC, ..., j=ZJ.

 

 

Pour le triangle AZB, on a donc : 1 = ab * sin(AZB)/2

Pour le triangle FZG : 6 = fg * sin(FZG)/2

Et ainsi de suite pour tous les autres triangles.

 

Maintenant, même si ce n'est pas dit clairement dans l'énoncé, il faut remarquer que la figure comporte des points alignés.

A, Z et F sont alignés.

B, Z, et G sont alignes.

Donc les angles AZB et FZG sont égaux.

 

1/(ab) = sin(AZB)/2 = sin(FZG)/2 = 6/(fg)

 

On obtient une belle formule : 1/(ab) = 6/(fg), qui peut s'écrire également 6ab = 1fg

Il reste à faire le même calcul pour les autres triangles.

 

6ab = 1fg
7bc = 2gh
8cd = 3hi
9de = 4ij
Sef = 5ja,

 

S étant la surface du dernier triangle. C'est la valeur que l'on cherche.

 

S = 5ja/(ef)

 

Pour simplifier cette formule, on va remplacer a par b puis par c, j par i puis par h, e par d puis par c, f par g puis par h, de manière à exprimer S en fonction de c et h uniquement.

 

C'est parti.

 

S = 5 * (ja)/(ef)
  = 5 * (j/e)(a/f)
  = 5 * [ (9/4) d/i ] [ (1/6) g/b ]
  = 5/6 * 9/4 * (d/i) (g/b)
  = 5/6 * 9/4 * [ (3/8) h/c ] [ (7/2) c/h ]

 

Et là, un petit miracle se produit : c et h disparaissent !

S  = 5/6 * 9/4 * 3/8 * 7/2

    = (1 * 3 * 5 * 7 * 9) / (2 * 4 * 6 * 8 )

    = 315 / 128