Soit ABC un triangle △

[Cybero 4 208]

Petit exercice de géométrie

 

• Soit ABC un triangle avec AC = 1 et M le milieu du côté AB
• Supposons que la bissectrice en A coupe le côté BC en un point D
• Et que le quadrilatère CAMD admette à la fois un cercle inscrit et un cercle circonscrit

 

Calculer la longueur des côtés AB et BC

 

Comme d'habitude, les premières réponses par spoiler  

[ribi 764]

Dis donc ça ne me paraît pas très simple tout ça...

Spoiler

Après beaucoup d'étapes de raisonnement, au cours desquelles j'ai eu mille fois l'occasion de me tromper, je trouve la relation :

2 BC² = AB(AB+AC)

est-ce que cette relation est vraie ou bien dois-je revoir mes calculs avant de continuer ?

 

[ribi 764]

Bon, la relation précédente semble juste...

Spoiler

1. Montrons que le triangle BMD est semblable au triangle BCA :

A,B,M,C sont sur le même cercle de centre J (centre du cercle circonscrit).

Les angles MDC et MAC=a correspondent au même angle au centre MJC. Comme ces deux angles sont de part et d'autre de la droite MC, on déduit MDC= π -a.

Donc BDM = a.

(l'angle inscrit est la moitié de l'angle au centre)

De même, les angles DMC et DCA=c correspondent au même angle au centre DJA. Comme ces deux angles sont de part et d'autre de la droite DA, on déduit DMC= π -c.

Donc BMD = c

Les deux triangles BMD et BCA ont des angles b, a, c, ils ont semblables.

2. Montrons que CD = MD.

L'angle MAD est égal à DAC, puisque D est sur la bissectrice de MAC.

Or d'après le théorème de l'angle au centre, MAD est la moitié de MJD et DAC est la moitié de DJC.

Donc MJD=DJC. De plus JM = JD=JC = rayon du cercle circonscrit, donc les triangles MJD et DJC sont identiques (même angle au sommet, même longueur des côtés).

Donc CD=MD.

3. Obtenons une première relation entre AB,AC et BC.

Les triangles BMD et BCA étant semblables,

on a MD/MB = CA/BC [1]

et BD/BM = BA/BC [2]

or BD=BC-DM (puisque MD=CD)

D'après [2], BA/BC= BC/BM-MD/MB

Si on remplace avec [1] et BM=BA/2, on obtient :

2 BC/BA -CA/BC = BA/BC

ou 2 BC² = BA(BA+AC) [3]

4. Obtenons une deuxième relation entre AB,AC et BC, à partir des surfaces.

Notons r le rayon du cercle circonscrit.

aire(ACDM)=aire(CIA)+aire(CDI)+aire(DIM)+aire(AMI)=(AC r +CD r + DM r +MA r)/2 [4]

aire(ABC)=aire(BIC)+aire(ABI)+aire(CIA)=(BC r+BA r+AC r)/2

aire(BMD)=aire(ABC)*(BM/BC)² (puisque les triangles BMD et BCA sont semblables.

aire(ACDM)=aire(ABC)-aire(BMD) = (BC r+BA r+AC r)/2 * (1- (BM/BC)²) [5]

En simplifiant entre [4] et [5], on obtient :

AC + CD + DM + MA =(BC+BA+AC)*(1- (BM/BC)²) [6]

or d'après [2] et comme CD=MD, on obtient CD+DM = 2 CA MB/BC = AC BA/BC (puisque M est au milieu de [AB])

La relation [6] peut donc être réécrite sous la forme :

AC + AC BA/BC + BA/2 = (BC+BA+AC)*(1- (BA/(2BC))²) [7]

5. Résolvons le système d'équations [3] et [7] pour trouver AC et BC en fonction de BA.

Mon logiciel de calcul symbolique trouve :

AC=BA/2

BC= BA √3 /2

Gâsp... Le triangle est la moitié d'un triangle équilatéral.

Comme AC= 1, on déduit AB= 2 et BC= √3 = 1,73 à peu de choses près.

Et je fais la figure parce que j'ai pu me tromper, mais miracle cela semble tenir la route...

 

[Cybero 4 208]

Excuse moi ribi, je n'ai pas eu l'occasion de te répondre entre tes 2 réponses... qui sont tout à fait justes !

J'ai une solution plus simple (Pas de moi)

Mais la tienne est beaucoup plus rigoureuse, vraiment, chapeau !

Je t'ai fait confiance dans ma lecture  La figure aidant beaucoup

[Cybero 4 208]

Personne d'autre ?

[Freddy 235]

Belle énigme.

 

Révélation

Etape 1 : Montrer que DC=DM

Révélation

Ici je ne m'occupe pas du point B. J'utilise juste deux informations :

1. ACDM est inscriptible dans un cercle (de centre 0).
2. AD est bissectrice de l'angle CAM.

Je construis une figure respectant ces deux contraintes sans me préoccuper du reste de l'énoncé.

 

 

D'après le théorème de l'angle au centre, on a :

• u = angle(MOD) = 2 angle(MAD)
• v = angle(COD) = 2 angle(CAD)

Or AD est bissectrice de CAM donc angle(MAD) = angle(DAC).

Donc u = v.

Donc DM=DC.

 

 

Etape 2 : Montrer que AC=AM

Révélation

Lorsqu’un quadrilatère possède un cercle inscrit, la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des longueurs de l'autre paire de côtés opposés (voir théorème de Pitot, très facile à démontrer).

Donc : AC+DM = AM+DC

Sachant que DC=DM, on trouve immédiatement que AC=AM.

 

Conclusion

Révélation

 

A partir de là, tout s'éclaire.

AC = 1 et AC = AM donc AM = 1.

M est milieu de AB donc AB = 2AM = 2

 

Le polygone ACDM est symétrique de lui-même autour de l'axe AD : A est symétrique de A, D est symétrique de D, M est symétrique de C. Donc le cercle passant par A, M et D est symétrique du cercle passant par A, C et D. Or ces deux cercles sont confondus puisque les 4 points sont cocycliques, donc le cercle est symétrique de lui-même autour de AD. Donc AD est un diamètre.

 

Donc ACD est rectangle en C.

Donc ABC est rectangle en C.

Donc BC^2 = AB^2 - AC^2

 

On trouve finalement : AB=2 et BC=racine_carrée(3).

 

 

 

Modifié 13 décembre 2020 par Freddy
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