Défi géométrique 1

[Zeus 116]

Un triangle ABC est isocèle en A.

On trace une perpendiculaire p à AB telle que p coupe BC en D, avec DC = 1/3 BC.

Que vaut l'angle A ?

 

🤔

[Cybero 4 296]

Si quelqu'un a une démonstration je suis preneur

 

[ribi 811]

Par exemple

Le schéma est faux mais peu importe. Soit E l'intersection de la médiatrice P et de (AB). E est le milieu de AB.

Révélation

Je choisis la distance BE comme unité de longueur.

J'ai BE=1 et BA=2.

Si j'appelle θ l'angle ABC=BCA et α l'angle BAC, j'ai α + 2θ = π (en considérant les angles du triangle ABC) donc θ = π/2 - α/2.

Le triangle BDE est rectangle en E et BE=1 donc BD=1/cos θ = 1/sin(α/2)

La distance BC s'obtient facilement en traçant le projeté orthogonal H de A sur BC (tracé qui construit à la fois une médiane, une bissectrice et une hauteur (AH)). Le triangle AHB est rectangle en H, et BH=AB sin(α/2) = 2 sin(α/2).
Donc BC= 4 sin(α/2) et

BD= 8/3 * sin(α/2) = 1/sin(α/2)

On en déduit sin²(α/2) = 3/8

Donc α = 75,52°

 

Modifié 26 septembre 2019 par ribi

[Cybero 4 296]

cos/sin/tan

Fufff... je crois que je me rappelle que je n'ai jamais été fan de trigonométrie à l'école 

 

Merci @ribi 
(Même si des choses m'échappent, il faudrait que je ré-approfondisse de mon côté)

[Freddy 235]

Je trouve un angle de 75,52° à peu près. Voici ma démonstration :

 

Révélation

Je choisis la base du triangle ABC comme unité de longueur.

Soit h la hauteur du triangle.

Soit O le milieu de BC.

Soit X l'intersection des droites AB et p.

 

Pour clarifier, voici les coordonnées des différents points :

A (0 ; h)

B (-1/2 ; 0)

C (1/2 ; 0)

O (0, 0)

D (1/2-1/3 ; 0) = (1/6 ; 0)

X (-1/4 ; h/2) c'est le milieu de AB !

 

Je cherche à calculer l'angle alpha = BAO :

tan(alpha) = 1/(2h)

 

Mais BA et XD sont perpendiculaires, et AO et DB sont perpendiculaires également, donc :

alpha=XDB

tan(alpha) = XB/XD

 

Donc on a 1/(4h^2) = XB^2/XD^2

 

1/(4h^2) =  (1/16 + h^2/5) / ((5/12)^2 + h^2/4)

 

En posant H = h^2, on obtient : 1/(4H) = (1/16 + H/4)  / ((5/12)^2 + H/4)

 

Donc (5/12)^2 + H/4 = H/4 + H^2

Donc H=5/12

 

Donc 1/h = racine_carrée(12/5)

Donc 1/(2h) = racine_carrée(3/5)

Donc alpha = atan(racine_carrée(3/5))

L'angle qu'on cherche est BAC = 2BAO soit :

 

2 * atan(racine_carrée(3/5))

 

Soit à peu près 75,52°.