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ribi

L'âge du capitaine

Question

Enigmus, qui a gagné au loto cet été, a décidé de partir en croisière sur la mer de Caraïbes, sur son yacht personnel. Il y a n personnes à bord, dont des amis d'Enigmus et l'équipage du bateau.

Alors qu'Enigmus se repose sur son bateau, il remarque que ses deux chiffres fétiches (appelons-les a et b) sont très particuliers :

  • Quand on multiplie a par b, on obtient l'âge du capitaine ;
  • Quand on multiplie le nombre aaa...aaa (nombre formé par n fois des chiffres a à la suite) par le nombre bbb...bbb (nombre formé par n fois des chiffres b à la suite), on obtient un nombre comportant seulement deux chiffres différents.

Quel est l'âge du capitaine ?

Question subsidiaire : quel jour Enigmus a-t-il gagné au loto ?

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8 answers to this question

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  • 0

Je dirais 

Révélation

45 ans ?

Et il a gagné au loto le 09/05😋 mais c'est pas l'été alors...le 05/09 c'est encore l'été 

 

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:vrabo:@marie C'est le bon âge, mais il n'y a pas eu de grand gagnant au loto les jours proposés...

Enigmus joue ses numéros fétiches...

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Merci pour les indices.

Révélation

8 millions d'euros le 22 juin 2020 avec les numéros fétiches 5 et 9 !

 

  • Bien joué ! 1

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C'est @marie qui a trouvé. J'ai juste Googleisé pour tomber sur une page donnant la liste de tous les gagnants 2020.

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Bon ben du coup j'ai fait pareil que @Freddy 😁 Google me dit 

Révélation

22/06

 

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J'ai fait quelques calculs, à lire si vous avez 5mn à perdre.

 

Révélation

Je note R(c,n) le nombre entier composé de n fois le chiffre c.

Exemple : R(2, 7) = 2 222 222

 

Propriétés :

 

R(c,n) = c * R(1,n)

R(9,n) = 10^n - 1

10 * R(c,n) = R(c, n+1) - c

R(c,n) = R(c, n+1) - c * 10^(n+1)

Si a+b<10, alors R(a,n)+R(b,n) = R(a+b, n)

Si a+b>9, alors R(a,n)+R(b,n)= R(a+b-9,n) + R(9,n)

 

Soit P(a,b,n) = R(a,n) * R(b,n)

On cherche les valeurs de a, b et n pour lesquelles P(a,b,n) s'écrit avec deux chiffres.

 

P(a,b,n) = R(a,n) * R(b,n)
         = ab R(1,n)^2
         = ab/9² * R(9,n)^2
         = ab/9² * (10^n - 1)^2
         = ab/9² * (10^2n - 2*10^n + 1)
         = ab/9² * [ (10^2n - 1) - 2(10^n - 1) ]
         = ab/9² * [ R(9, 2n) - 2 * R(9, n) ]
         = ab/9 * [ R(1, 2n) - 2*R(1, n) ]

 

Rigolo, mais je ne vois pas trop ce que je peux faire de ça !

 

Cela dit, dans le cas où a=5 et b=9, on peut simplifier :

 

P(a,b,n) = 5*R(1,2n) - 10*R(1,n)

         = R(5,2n) - 10*R(1,n)

 

         D'abord n-1 "5", puis n "4", puis un "5" final.

         Que des 4 et des 5, en nombre égal.


Donc ça marche bien avec les chiffres 5 et 9, mais pour prouver que ça ne marche pas avec n'importe quelles autres chiffres, c'est une autre paire de manches.

 

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captainbaby.0.png

Le problème n'est en fait pas si difficile que cela à résoudre. On peut y arriver en n'essayant que des âges vraisemblables pour le capitaine, et c'est la même réponse quel que soit

(n'ouvrir qu'un seul spoiler si vous voulez une aide)

Révélation

le nombre de personnes à bord (au delà de 3). On peut donc tester avec une calculette et 3 membres d'équipages.

J'avoue n'avoir pas vérifié avant qu'il ne pouvait pas y avoir d'autres solutions que celle à laquelle j'avais pensé, mais en raisonnant en modulo 1000, on doit pouvoir exclure assez rapidement tous les autres cas (ne pas ouvrir le deuxième spoiler si vous cherchez encore).

Révélation

Voici la table de multiplication modulo 1000 avec en couleur les cas où on pourrait risquer de n'avoir que deux chiffres

Sanstitr.GIF.6588f9303e02f485ba41b5c109b65413.GIF

le produit de aaa...aaa*999...999 commence nécessairement par a ce qui permet d'exclure les cas en magenta.

Il reste à exclure :

222...222*777...777 qui commence nécessairement par un 1,

444...444*777...777 qui commence nécessairement par un 3,

444...444*888...888 qui commence nécessairement par un 3.

 

 

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Intéressant tout ça. J'ai regardé les :spoiler:, ça m'a donné des idées.

Je continue sur ma lancée.

Révélation

Je vais essayer d'exprimer P(a,b,n+1) en fonction de P(a,b,n).

 

P(a,b,n+1) = R(a,n+1) * R(b,n+1)
           = ab * R(1,n+1)^2
           = ab * [ R(1,n) + 10^n ]^2   (une de mes formules données plus haut était fausse, mais celle-ci est ok)
           = ab * [ R(1,n)^2 + 2*R(1,n)*10^n + 10^2n ]
           = [ ab * R(1,n)^2 ] + ab * [ 2*R(1,n) + 10^n ] * 10^n
           = R(a,n) * R(b,n) + ab * [ 2*R(1,n) + 10^n ] * 10^n

 

P(a,b,n+1) = P(a,b,n) + 10^n * ...

 

Cette relation est très intéressante.
Elle nous indique que les n derniers chiffres de P(a,b,n+1) sont identiques aux n derniers chiffres de P(a,b,n).

 

Ensuite on peut faire les tables pour n=1 et n=2 et trouver un certain nombre de solutions.

Inutile de détailler ça ici, d'après l'énoncé du problème on peut dire qu'il y a au moins 3 personnes sur le bateau (et même plus).

 

Je calcule la table pour n=3. C'est une petite table de multiplication faite sous Excel.

  • En gris, les valeurs dont les 3 derniers chiffres sont distincts. Leur compte est bon, je pourrai les éliminer quand je passerai à n+1 maintenant que je sais que ces 3 chiffres seront toujours présents pour les valeurs suivantes de n.
  • En orange, les valeurs avec plus de 3 chiffres distincts, mais seulement 2 chiffres distincts parmi les 3 derniers.
  • En vert, la seule valeur valide.

image.thumb.png.fc39f418c5bdf0630a3c75ce46641de5.png

 

Table pour n=4. Je regarde les 4 derniers chiffres.

image.thumb.png.73124843f3c7f8d16939f145c87fc183.png

 

Table pour n=5. Je regarde les 5 derniers chiffres.

image.thumb.png.b093f1d3abe3deee8de8a9d29f83234d.png

 

P(3,6,n) et P(a,9,n) font de la résistance.

 

Je commence par P(3,6,n) dont je sais maintenant qu'il se termine forcément par 78.

 

P(3,6,n) = ab/9 * [ R(1,2n) - 2R(1,n) ]
         = 2 * [ R(1,2n) - 2R(1,n) ].


        Il commence par 2. Eliminé.
                        
Les P(a,9,n) maintenant, qui se terminent par 9-a et 10-a.

 

P(a,9,n) = ab/9 * [ R(1,2n) - 2R(1,n) ]
         = a * [ R(1,2n) - 2R(1,n) ]

 

         Ils commencent par a, ce qui fait 3 chiffres, sauf si a=10-a, c'est-à-dire si a=5 et b=9.

 

Le capitaine a bien 45 ans, il ne peut pas en être autrement.

 

Edited by Freddy
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