De nombreux mathématiciens niv 3

[l'homme 5]

Dans un pays lointain vivaient une infinité dénombrable de mathématiciens qui réfutaient l'axiome du choix.

Par conséquent, on les avait mis en prison.

Un jour, le geolier leur déclare:

"Demain, je vous placerai en file indienne avec chacun un nombre réel quelconque sur votre chapeau.

Chacun d'entre vous verra l'ensemble des nombres réels des chapeaux situés devant lui, mais pas le sien ni ceux derrière.

Alors, un par un en commençant par le premier, je vous demanderai de crier votre nombre réel.

Si vous trouvez, c'est la liberté.

Si vous vous trompez, tant pis."

 

Le lendemain, à son grand dam, il ne restait plus qu'un seul mathématicien en prison.

 

Comment ont-ils fait?

[Enigme2Labo 248]

🤯🤯🤯🤯🤯

Mais c'est de pire en pire !

[Freddy 235]

Je te le fais pas dire !

[Enigme2Labo 248]

Spoiler

Bon aller, je me lance, cette fois le mathématicien doit donner un nombre réel... Le premier mathématicien pourrait énoncer simplement un nombre qui représente la suite qu'il voit... Mais comme il y a potentiellement des nombres après la virgule, je propose la stratégie suivante :
1/ qu'il convertisse tous les nombres qu'il voit en écriture scientifique, i.e. 

1.146138165... *10^1542 
3.15132135132...*10^426
2/ Ensuite que pour chaque chapeau, il donne deux chiffres, le premier correspondant au premier chiffre du nombre, et le second au premier chiffre de la puissance, ex dans notre cas 11 et 34. 
3/ Il continue pour toute la série, ce qui lui prend une infinité de temps. 
4/ Mais 'une fois qu'il a fini' (je ne suis pas sure de cette étape), il passe à la décimale suivante, i.e. ici, 15 et 12. 
5/ Et on itère. Ce qui donne pour le nombre qu'il va énouncer quelque chose du genre: 
1134.......1512......4456.....6210....1030....
Il lui faudra donc dire une infinité d'infinité... 

Est ce que ca marche? 

 

 

Modifié 31 août 2022 par Enigme2Labo

[l'homme 5]

Bonjour Enigme2Labo, merci pour votre intéressante proposition.

Il y a cependant deux problèmes:

Révélation

Problème 1 (c'est plus un détail facile à régler):

       On ne sait pas combien de chiffres sont nécéssaires pour exprimer la puissance de chaque nombre. Dans ton exemple, 1542 a quatre chiffres, il faut donc 4 "passages" pour la dire complètement. Lors du cinquième "passage", comment le premier prisonnier peut-il faire comprendre qu'il ne dira plus qu'un chiffre, juste pour la partie décimale, parce que la puissance est finie?  De la même manière comment faire avec les réels très petits qui ont une puissance négative?

 

Problème 2 :

    Ton étape 5 ne fonctionne pas. Le premier prisonnier doit dire un nombre précis, ce sera un réel fini. S'il dit une infinité de chiffres, alors il est en train de dire un "entier" infini ( c'est pa un entier en fait, c'est jute une suite de chiffres). Il n'a pas le droit! 

 

[Enigme2Labo 248]

Mmmmh, ok, est ce que c'est un début de bonne piste, ou est ce qu'il faut chercher quelque chose de complétement différent ? 

[ribi 811]

Révélation

Représentation des nombres réels

Le problème semble être de dénombrer toutes les chiffres intervenant dans les nombres réels.

Les mathématiciens doivent se mettre d'accord sur la base de calcul (base 10 par exemple), sur l'écriture des nombres réels (1,00000... et pas 0,9999....) sur la façon de coder le signe par exemple 0 pour positif ou nul  et 1 pour strictement négatif.

Les nombres réels permettent de construire des suites :

sᵢ (la suite des signes)

vᵢⱼ (les suites, presque nulles, des chiffres avant la virgule)

uᵢⱼ (les suites, des décimales)

Il reste à se mettre d'accord sur le sens dans lequel on les dénombre tous. On peut choisir le sens sur le schéma (en spirale). Toutes les décimales, chiffres et signes finiront par y passer.

Le premier applique cette méthode sur les nombres devant lui.

Tous les autres retrouvent leur nombre réel en redessinant le schéma (ou de tête).

J'ai eu l'idée sous la douche. J'espère que c'est ça.

[Freddy 235]

Message parti tout seul, pas fini de rédiger...

Modifié 1 septembre 2022 par Freddy

[Freddy 235]

Révélation

 

1. Puisque le premier mathématicien n'a aucune information sur lui-même, il ne peut éviter la prison sauf coup de chance extraordinaire. Donc il se sacrifie. Il ira en prison et permettra la libération de tous les autres mathématiciens. Le nombre qu'il prononce n'est pas celui inscrit sur son chapeau. C'est un nombre qui contient toute l'information nécessaire pour retrouver les nombres inscrits sur les autres chapeaux.
 

2. La question est donc de savoir comment coder tout cette information dans un seul nombre réel. On s'aperçoit qu'il y a plusieurs manières de faire cela. Une manière assez générale consiste à écrire un texte en français (vous pouvez utiliser le chinois si vous préférez) qui pourrait ressembler à cela :

 

Révélation

• Le nombre inscrit sur le chapeau du 2ème mathématicien est 3.
• Le nombre inscrit sur le chapeau du 3ème mathématicien est 3,14159.
• Le nombre inscrit sur le chapeau du 4ème mathématicien est un nombre rationnel égal à 22/7.
• Le nombre inscrit sur le chapeau du 5ème mathématicien est le nombre irrationnel égal à la racine carrée de deux.
• Le nombre inscrit sur le chapeau du 6ème mathématicien est le nombre transcendant pi (j'ai potassé wikipédia).
• Etc...

 

Ensuite on choisit un codage quelconque, par exemple A=1, B=2, ... Z=26.

Les chiffres : 0=27, 1=28, ... 9=36.
Le point 37, la virgule 38, le caractère d'espacement 39, le retour à la ligne 40, etc.

N'importe quel codage par substitution fait l'affaire pourvu qu'il soit connu de tous.

 

On obtient alors une suite de nombres compris entre 1 et n, n étant le nombre de caractères de l'alphabet. Disons qu'avec 99 caractères on est tranquille, on peut chiffrer à peu près n'importe quel message.

 

12 5 39 14 15 13 2 18 5 39...

 

Et il est facile de convertir cette suite de nombres en un réel :

 

0,12053914151302180539...

 

Tout cela pour dire qu'on peut stocker toute l'information qu'on veut.
Même l'information décrivant l'univers entier pourrait tenir dans un unique nombre réel.

3. Simplifions le message à envoyer et disons que chaque ligne contient simplement un nombre.

Révélation

• 3
• 3,14159
• 22/7
• sqrt(2)
• pi

 

Beaucoup de nombres réels peuvent être décrits par une formule de taille limitée comme ci-dessus. D'autres exemples : e, pi, pi², pi^e + 1, "la plus petite racine du polynôme x²+7x+5", la longueur d'onde du rouge en km, etc. Il existe cependant une catégorie de réels plus difficiles à appréhender. Ce sont les nombres irrationnels qu'on ne peut pas décrire à l'aide d'une formule finie, par exemple 1,344387687642... avec une infinité de décimales quelconques. Pour communiquer un tel nombre, pas d'autre choix qu'énumérer toutes ses décimales. Appelons ce type de nombre un nombre indescriptible. Puisque les nombres indescriptibles appartiennent à l'ensemble des réels, ils peuvent apparaitre dans notre fichier.

 

Révélation

 

• 3
• 3,14159
• 22/7
• 1,344387687642...
• sqrt(2)
• pi

 

 

On obtient alors un fichier avec des lignes de taille infinie, mais ce n'est pas ça qui va effrayer nos mathématiciens puisqu'ils ont une puissance de calcul illimitée.

 

On peut aussi classer les caractères en colonne si on préfère (je vous laisse enlever les smileys et remettre les espaces où il faut) :

 

Révélation

• 3321sp
•  ,2,qi
•  1/3r
•  474t
•  1 4(
•  5 32
•  9 😎
•    7
•    6
•    8
•    7
•    6
•    4
•    2

 

Je pense que cela ne change pas grand-chose puisqu'on a un tableau de taille infinie dans les deux directions.
Donc je dirais que le plus simple est d'encoder la liste naturellement et laisser les mathématiciens se débrouiller avec l'infini, ils savent faire.

 

Révélation

• 3
• 3,14159
• 22/7
• 1,344387687642...
• sqrt(2)
• pi

 

4) Une réponse légèrement différente consiste à exploiter l'énoncé de la manière suivante : Les mathématiciens peuvent voir les nombres inscrits sur les chapeaux. Cela signifie qu'il n'y a pas de nombre indescriptible dans la liste. Ou bien, autrement dit, on peut prendre une photo de chaque chapeau et donc de chaque nombre. Cette photo contient un nombre fini de pixels et peut être encodée en une suite finie de 0 et de 1. Avec cette approche, toutes les lignes du fichier à convertir en réel sont de taille finie.

 

Les mathématiciens peuvent donc facilement communiquer toute l'information dont ils ont besoin pour qu'un seul d'entre eux aille en prison. La méthode suppose tout de même d'être en présence de super-mathématiciens à la puissance de calcul infinie, dotés d'une mémoire infinie et capables de communiquer de manière instantanée (plus vite que la lumière).

 

 

 

[l'homme 5]

Bravo Ribi, c'est bien cela.

 

Révélation

L'essentiel de l'énigme est bien d'ordonner l'ensemble des décimales données en une suite dénombrable. Une spirale fait bien l'affaire.

 

Attention Enigme 2 Labo, tu allais donc au devant d'une grave erreur: après avoir corrigé les deux détails vus précéédemment, il y avait un gros couac:

        Avant de donner les informations pour la deuxième décimale de chacun, le mathématicien devait dire une infinité de chiffres (les premières décimales de chacun). Alors, dans le nombre réel dit par le premier mathématicien, à quel rang apparaît la deuxième décimale du deuxième mathématicien?(ton 1512). Ces décimales ont un rang infini... ce qui ne veut rien dire. C'est pour cela qu'il faut ordonner les informations différemment comme le suggère Ribi.

 

 

 

C'est rigolo, cette énigme paraît de prime abord plus dure que le niveau 2, car trouver un réel est fichtrement plus compliquée que trouver blanc ou noir avec une chance sur deux. Pourtant, la réponse est carrément plus simple. En fait, le mathématicien 1 a le droit de dire un réel, ce qui permet de donner bien plus d'information que de dire simplement blanc ou noir.

.

[l'homme 5]

Attention Freddy, ta réponse est fausse pour la même raison que Enigme 2 Labo

Révélation

 

 

[Freddy 235]

Ça ne marche pas avec ce que j'ai proposé dans le paragraphe 4 ?

[Enigme2Labo 248]

Wait, wait, je ne comprends pas,
 

Spoiler

il n'y a pas dans le cas de Ribi le même soucis que pour moi? A savoir que je ne sais pas quand se finissent les suites vij des chiffres avant la vrigule? 
Cad que si la suite est 150, comment est ce que je reconnais 150? Comment est ce que je construis une suite à partir de ca? 

 

[l'homme 5]

Non, ton paragraphe 4 est erroné Freddy:

On ne peut pas représenter une infinité de chiffres avec un nombre fini de pixels. Comment un pixel pourrait-il représenter plus d'un seul chiffre?

Révélation

Il faut bien comprendre, pour trouver la solution, de quel infini on parle.

L'ensemble de données que doit transmettre le mathématicien 1 est infini dénombrable. C'est plus qu'un ensemble fini de pixels, mais moins que l'ensemble des réels.

 

[l'homme 5]

Révélation

Effectivement, Ribi a bien contourné cette difficulté: il donne la première décimale, puis les unités, puis la deuxième décimale, puis les dizaines, etc en s'éloignant de la virgule de part et d'autre. Si après les centaines c'est fini (comme pour 150), il n'y a plus qu'à mettre des zéros. 

 

[Enigme2Labo 248]

Ah oui, d'accord, mes explications précédentes ne devaient pas être claires.

Spoiler

J'avais bien la même idée pour les puissances de 10; mais mal exprimée. Et j'avais de toutes façons d'autres problèmes dans mon raisonnement. Merci pour les explications. 

 

[Freddy 235]

Je ne vois pas bien comment on pourrait noter une infinité de chiffres sur un chapeau. C'était le sens de ma remarque.

 

Révélation

Mais soit, admettons que ce soit possible.

Le tableau est alors infini dans le sens vertical mais aussi dans le sens horizontal.

 

 

Si le mathématicien 1 énumère le contenu du tableau ligne par ligne ou colonne par colonne, il est amené à franchir l'infini une infinité de fois. C'est impossible, contrairement à ce que j'écrivais plus haut. Je m'empresse donc de corriger !

 

 

Pour ne pas avoir à franchir l'infini, le mathématicien 1 parcourt le tableau en diagonale.

 

Diagonale 1 : "3"
Diagonale 2 : "3" vide
Diagonale 3 : "2" "," vide
Diagonale 4 : "1" "2" "1" vide

 

Il met tout ça à la queue leu leu.

 

"3" "3" vide "2" "," vide "1" "2" "1" vide ...

 

Il convertit cette suite infinie de caractères en une suite infinie d'entiers en utilisant une méthode de substitution connue de tous les mathématiciens (caractères ascii par exemple).

 

51 51 32 50 44 32 49 50 49 32 ...

 

Puis la suite d'entiers est convertie en un nombre réel.

 

0,051 051 032 050 044 032 049 050 049 032...

 

Les autres mathématiciens prennent connaissance de ce nombre réel (transmission orale d'une quantité infinie d'information supposée possible).
Ils le déchiffrent instantanément (je ne détaille pas) et retrouvent le nombre qui leur correspond.

 

Note : ils connaissent leur rang dans la file car le geôlier les fait parler un par un dans l'ordre.

 

 

Modifié 3 septembre 2022 par Freddy