[Résolue] Petits achats

[Cybero 4 300]

Hier j'ai été fait des courses à carrouf et j'ai acheté 3 articles.

De retour chez moi, je me suis aperçu que la caissière, étourdie, avait fait un produit du prix de mes 3 articles au lieu d'une addition...

Après calculs, il s'avère que cela ne changeait rien au prix payé: 6,42€

Quel était le prix des 3 articles ?

Démonstration appréciée

Réponses par spoiler pour le moment, pas de MP

[ribi 816]

1,6+1,07+3.75=1.6*1.07*3.75

[Cybero 4 300]

Bonne réponse de ribi

[bvph 1 076]

3,75

1,6

1,07

[Cybero 4 300]

bonne réponse de bvph

[Cybero 4 300]

La suite sans spoiler et avec démonstration si possible

[Cybero 4 300]

Personne ?

Dernière relance avant que je ne donne la réponse

[godzi 647]

Je serais curieux de voir une (ou plusieurs) démos

[ribi 816]

Soient A, B, C les prix, entiers, en centimes.

D'après l'énoncé, les prix vérifient :

ABC=6420000=2☓2☓2☓2☓2☓3☓5☓5☓5☓5☓107 (décomposition en nombres premiers)

A+B+C=642

Du coup le nombre de décompositions n'étant pas infini, on peut trouver assez rapidement A, B, C.

Mais si on veut une démonstration exhaustive :

Une fois qu'on aura trouvé l'un des prix (mettons C) il suffira de résoudre deux équations :

AB=P (avec le produit P=6420000/C)

A+B=S (avec la somme S=642-C)

On peut facilement avoir A et B si on connaît S et P :

(A-B )²= (A+B )²-4AB= S²-4P

donc A-B=racine(S²-4P) (si je choisis A plus grand que B )

Comme A+B = S, on déduit

A= ((A-B )+(A+B ))/2= (S+racine(S²-4P))/2

B= (S-racine(S²-4P))/2

Il reste à trouver C

La décomposition en nombres premiers implique que l'un des prix (choisissons C) est multiple de 107.

On peut avoir la bonne intuition dès le départ, mais pour démontrer qu'il n'y a pas d'autres solutions, il faut envisager tous les multiples de 107 inférieurs à 642.

C=535 ?

AB=P= 12000

A+B=S=107

S²-4P<0

pas de solution réelle

C=428 ?

AB=P=15000

A+B=S=214

S²-4P<0

pas de solution réelle

C=321 ?

AB=P=20000

A+B=S=321

S²-4P=43041

√43041=207.4632... pas de solution entière

C=214 ?

AB=P=30000

A+B=S=428

S²-4P=63184

√63184=251.3643... pas de solution entière

C=107 ?

AB=P=60000

A+B=S=535

S²-4P=46225

√46225=215

A=(535+215)/2= 375

B=(535-215)/2= 160

[godzi 647]

merci

[iapx 4]

Soient A, B, C les prix, entiers, en centimes.

D'après l'énoncé, les prix vérifient :

ABC=6420000=2☓2☓2☓2☓2☓3☓5☓5☓5☓5☓107 (décomposition en nombres premiers)

A+B+C=642

???

A+B+C=642 -> ok c'est l'énoncé

AxBxC=6420000 -> çà sort d'où ????

j'ai dû louper un épisode ...

[ribi 816]

L'énoncé c'est a+b+c=6,42

et abc=6,42 avec (a,b,c sommes en euros)

avec

A=100a

B=100b

C=100c

(pour avoir des entiers)

on obtient bien :

A+B+C=100(a+b+c)=642

et

ABC=100x100x100xabc=6420000

[iapx 4]

vu, ok, merci

alors après :(A-B )²= (A+B )²-4AB... :

c'est-y une identité remarquable ? parce que celle-là, je l'ai pas en mémoire...

la suite, c'est bon

[ribi 816]

alors après :(A-B )²= (A+B )²-4AB... :

c'est-y une identité remarquable ? parce que celle-là, je l'ai pas en mémoire...

Non ce n'est pas une identité remarquable, mais cela se vérifie en une ligne grâce aux identités remarquables...

En fait si, elle s'appelle identité de Legendre...

Modifié 2 avril 2012 par ribi

[iapx 4]

j'aurai dû écouter maman... j'ai quitté l'école trop tôt....

[Cybero 4 300]

Bon on va dire résolue

merci pour la démonstration ribi

[iapx 4]

... et n'oubliez pas : comme cybero --> achetez français !