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Question

Un sultan vivait dans son palais avec ses 5 filles, ses 5 juments et ses 5 mathématiciens.

 

 

Un jour, le sultan qui était un farceur empile une infinité de chapeaux blancs ou noirs sur la tête de ses mathématiciens de manière à ce qu’ils ne peuvent voir que les chapeaux des autres.  Chaque chapeau  a une chance sur deux d’être noir.

A ce moment, il leur interdit de communiquer et

leur explique leur explique les règles suivantes:

Il comptera jusqu’à 3 et là les mathématiciens devront hurler le rang de leur premier chapeau noir en partant du bas. S’ils réussissent tous, le sultan leur donnera ses filles en mariage. Si l’un d’entre eux se trompent, il les forcera à épouser ses juments. 

 

 

     Que font les mathématiciens ?

Edited by Cybero
Sans suite

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22 answers to this question

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  • 0

Là aussi, il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

Je tente :

Révélation

Ils disent tous que le rang de leur premier chapeau noir est 1, ce qui leur donne une chance sur 32 d'épouser les filles (chaque fille n'étant pas un mauvais cheval sans doute.)

 

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  • 0
Il y a 13 heures, ribi a dit :

Là aussi, il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

Je tente :

  Masquer le contenu

Ils disent tous que le rang de leur premier chapeau noir est 1, ce qui leur donne une chance sur 32 d'épouser les filles (chaque fille n'étant pas un mauvais cheval sans doute.)

 

Bien, c'est un début. Cette stratégie marche à chaque fois que tous reçoivent un chapeau noir en première position.

Maintenant, Imaginons qu'ils disent "1" à chaque fois qu'ils voient que les autres ont tous un chapeau noir en première position, mais que les autres fois ils disent "2".

Là, ça marchera à chaque fois qu'ils recevront tous un chapeau noir en première position, mais aussi quand ils recevront tous un chapeau noir en deuxième position. ça marchera donc strictement plus souvent.

    Ainsi, il existe de meilleures stratégies. Reste à trouver la meilleure ;) 

 

 

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  • 0
Révélation

Si l'on voit que les quatre autres ont leur premier chapeau noir en position n, on dit "n", on a une chance sur 2 supplémentaire.

la somme des 2vaut 2/(1-2)=1/31

Une chance sur 31 d'épouser les filles.

Évidemment ce n'est pas le maximum

Révélation

On aurait tout intérêt à privilégier des configurations plus probables, du type 111nn, mais incompatibles avec 11111 : si on voit "111n" on dit "n", si on voit "11nn" on dit "1"

je fatigue pour calculer la probabilité et la suite...

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  • 0
Il y a 13 heures, ribi a dit :
  Révéler le contenu masqué

Si l'on voit que les quatre autres ont leur premier chapeau noir en position n, on dit "n", on a une chance sur 2 supplémentaire.

la somme des 2vaut 2/(1-2)=1/31

Une chance sur 31 d'épouser les filles.

Évidemment ce n'est pas le maximum

  Révéler le contenu masqué

On aurait tout intérêt à privilégier des configurations plus probables, du type 111nn, mais incompatibles avec 11111 : si on voit "111n" on dit "n", si on voit "11nn" on dit "1"

je fatigue pour calculer la probabilité et la suite...

Bien joué tu avances bien. En effet calculer la probabilité exacte devient intolérable dès que les stratégies se complexifient. Mieux vaut ne pas chercher à trouver la valeur numérique, mais plutôt trouver des moyens de les comparer les unes aux autres.

 

Développe plus en détail cette histoire de configurations incompatibles

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  • 0

Je pense être moins fatigué à cette heure ci, mais il est très possible que mes probabilités ne soient pas toutes justes :

Révélation

11111 : 1/32 n°7
11112 : 5/64 n°1
11122 : 5/64 n°1
11222 : 5/128 n°5
12222 : 5/512
22222 : 1/1024
11113 : 5/128 n°5
11123 : 5*4/256=5/64 n°1
11223 : 5*6/512=15/256 n°4
12223 : 5*4/1024=5/256
22223 : 5/2048
11133 : 10/1024=5/512
...
11114 :5/256
...
11234 :5*4*3/4096=15/1024

 

J'espère avoir réussi à trouver les 7 probabilités les plus fréquentes

Identifions des séries qu'on ne peut pas confondre à un terme près :

11112 et 11223

On augmente facilement la probabilité de bonnes réponses à 5/64+15/256=35/256 (une chance sur 7,31).

 

Intuitivement, on peut élargir à des cas comparables :

aaaab (en choisissant pour b le plus petit entier non nul différent de a)

aabbc (a<b et c=b+1)

 

Une stratégie de réponse pour trouver ces cas serait alors :

aaaa* -> le plus petit nombre entier non nul différent de a

aaab* -> a

aabb* ->(a<b)  b+1

abb(b+1)* -> (c=b+1) a

 

Calculons la probabilité de aaaab

11112 : 5/64

nnnn1 : 5* 2ⁿ/2 donc la somme pour tous les n>=2 est  5/(2*2*(1-2⁴))=5/(2*15*16)=1/96 (aux erreurs de calcul près)

5/64+1/96=17/192

Il reste la probabilité de aabb(b+1)

11223 : 15/256

...

Je suis au dessus de 17/192+15/256 (plus d'une chance sur sept de réussir).

 

 

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  • 0
Révélation

Petite remarque logique:

    Les mathématiciens ne communiquent pas. Par conséquent, ils ne peuvent se mettre d'accord sur une stratégie arbitraire, ce qui est nécessaire pour dépasser le stade de "on dit tous 1". 

     La seule manière de se mettre d'accord est qu'une stratégie se distingue naturellement. A savoir la meilleure. On aura beau trouver une stratégie extrêmement judicieuse, cela revient au même si elle n'est pas LA meilleure.

il y a 51 minutes, ribi a dit :

Je pense être moins fatigué à cette heure ci, mais il est très possible que mes probabilités ne soient pas toutes justes :

  Masquer le contenu

11111 : 1/32 n°7
11112 : 5/64 n°1
11122 : 5/64 n°1
11222 : 5/128 n°5
12222 : 5/512
22222 : 1/1024
11113 : 5/128 n°5
11123 : 5*4/256=5/64 n°1
11223 : 5*6/512=15/256 n°4
12223 : 5*4/1024=5/256
22223 : 5/2048
11133 : 10/1024=5/512
...
11114 :5/256
...
11234 :5*4*3/4096=15/1024

 

J'espère avoir réussi à trouver les 7 probabilités les plus fréquentes

Identifions des séries qu'on ne peut pas confondre à un terme près :

11112 et 11223

On augmente facilement la probabilité de bonnes réponses à 5/64+15/256=35/256 (une chance sur 7,31).

 

Intuitivement, on peut élargir à des cas comparables :

aaaab (en choisissant pour b le plus petit entier non nul différent de a)

aabbc (a<b et c=b+1)

 

Une stratégie de réponse pour trouver ces cas serait alors :

aaaa* -> le plus petit nombre entier non nul différent de a

aaab* -> a

aabb* ->(a<b)  b+1

abb(b+1)* -> (c=b+1) a

 

Calculons la probabilité de aaaab

11112 : 5/64

nnnn1 : 5* 2ⁿ/2 donc la somme pour tous les n>=2 est  5/(2*2*(1-2⁴))=5/(2*15*16)=1/96 (aux erreurs de calcul près)

5/64+1/96=17/192

Il reste la probabilité de aabb(b+1)

11223 : 15/256

...

Je suis au dessus de 17/192+15/256 (plus d'une chance sur sept de réussir).

 

 

Seconde remarque:

     Il n'est même pas sûr qu'une telle stratégie existe. Imaginons le jeu: "on dit tous un nombre dans [0,1[, ,celui qui a dit le plus grand a gagné". Alors les stratégies sont facilement comparables, mais il n'y en a aucune qui soit meilleure que toutes les autres.

 

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  • 0

Les mathématiciens auront tous calculé le tableau des probabilités.

Révélation

Intuitivement, ils doivent choisir une règle simple qui permet de sauver si possible une grosse probabilité :

11112

11122

11123

Il faut donc compléter :

1111->2

1113->2

1123->1

1122->1

Le problème est pour celui qui voit 1112, qui peut "gamberger" pour choisir 1,2,3 : cela se traduit par une victoire sur trois pour 11112 ou 11123, et une victoire sur 9 pour 11122 où deux mathématiciens gambergent.

Cet argument conduit à choisir systématiquement 1 ou 3 après 1112.

 

Ce qui offre une chance sur 12,8 sans communiquer.

Je suis surpris du fait qu'il puisse y avoir une décision qui soit "LA" meilleure...

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  • 0

Le fait qu'une stratégie générale soit LA meilleure ou non, c'est à démontrer.

 

Révélation

    - Vous avez raison lorsque vous affirmez que le choix doit être systématique. Il doit même l'être encore plus. Dans le cas 11112, quatre mathématiciens se trouvent face à ce panorama: 1112. S'ils adoptent des stratégies différentes ( certains décident que 1112->1, et d'autres que 1112->3 ) alors il y en aura toujours un pour se planter car la situation ne peut être 11123 et 11121 à la fois. Voilà pourquoi ils aimeraient se mettre d'accord sur un unique comportement à adopter face aux différents panoramas. 

 

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  • 0

Cela dit, j'ai fait une erreur de comptage dans ma dernière proposition.

Révélation

Intuitivement, ils doivent choisir une règle simple qui permet de sauver si possible une grosse probabilité :

11112

11122

11123

Il faut donc compléter :

1111->2

1113->2

1123->1

1122->1 

Le problème est pour celui qui voit 1112, qui peut "gamberger" pour choisir 1,2,3 : cela se traduit par une victoire sur trois pour 11112 ou 11123, une victoire sur 3⁴= 81 où 4 mathématiciens gambergent et une victoire sur 9 pour 11122 où deux mathématiciens gambergent.

Cet argument conduit à choisir systématiquement 3 après 1112 et sauver seulement 11123.

 

Ce qui offre une chance sur 12,8 sans communiquer, et conduit à abandonner 1111->2 et 1122->1 qui ne servent à rien

J'ai du mal en tout cas à concevoir ce qui sera meilleur ou pas comme stratégie.

J'ai l'impression qu'à chaque fois que je trouve une façon de faire, il y a des moyens d'améliorer.

À la place des mathématiciens, j'achèterais un ordinateur, je comparerais les effets des diverses stratégies abcd->e avec a,b,c,d,e des nombres de 1 à 3 ou 4 sur la probabilité de réussite et je choisirais la meilleure stratégie, en espérant qu'elle soit unique.

Ou sinon, j'achèterais ceci :

s-l1600.jpg

  • Haha 1

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lourd indice:

Révélation

il faut faire une récurrence sur le nombre de mathématiciens

 

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J'ai beaucoup de mal à me convaincre de la validité d'une

Révélation

récurrence

 

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Soit le sultan est sadique parce que je ne vois aucun moyen infaillible de faire en sorte que les mathématiciens s'en sortent, soit il est très intelligent pour un sultan 😋

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Il y a 8 heures, La Mongue a dit :

Soit le sultan est sadique parce que je ne vois aucun moyen infaillible de faire en sorte que les mathématiciens s'en sortent, soit il est très intelligent pour un sultan 😋

Ce sultan est très intelligent en effet. Par exemple, il est capable de jouer aux échecs tout en parlant espagnol

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Sans réponse de l'auteur, ce sujet sera suspendu d'ici quelques jours

 

Ceci est une réponse automatique due à une absence de nouvelles de l'auteur de l'énigme

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C'est dommage, j'aurais bien voulu avoir la réponse attendue...

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  • Ce sujet est maintenant suspendu, pour demander sa réouverture, merci de contacter un modérateur

  •  

Ceci est une réponse automatique due à plusieurs relances soldées sans suite

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