[Résolue] Un peu de géométrie

[Cybero 4 296]

Niveau collège, on est tous passé par là !

Soit ABCD un carré de 10cm de côté.

On trace un demi-cercle de diamètre [AD] à l'intérieur de ABCD puis la tangente à celui-ci passant par le point C, autre que (CD).

Cette dernière coupe [AB] en E.

Quelle est l'aire du triangle BCE ?

Réponses par spoiler pour le moment, pas de MP

[bvph 1 076]

Fainéant !

C'est ça l'énoncé ?

[Cybero 4 296]

Vous avez déjà pu admirer mes talents de dessinateur...

Alors je préfère un énoncé textuel

Mais oui c'est bien ça

[ribi 811]

75/2=37.5

[bvph 1 076]

37,5cm2

Là c'est moi qui ait la flemme de taper la démonstration

[edwin14 17]

37.5 cm²

[Cybero 4 296]

3 bonnes réponses

La suite sans spoiler et avec la démonstration svp

[Cybero 4 296]

Personne pour la démonstration ?

[Cybero 4 296]

[NBF 0]

J'ai plusieurs démonstrations algébriques, mais j'ignore la démonstration géométrique. Nous avons fait si peu de géométrie dans notre programme d'éducation, la dernière fois que j'en ai fait je devais avoir 14 ans.

Je me suis certainement compliqué la vie dans cette démonstration.

Ajoutons le point O le centre du demi-cercle et le point T, le point tangent au cercle.

OTC est un angle droit puisque TC est tangent au cercle.

TC et CD sont deux tangentes passant par C et sont donc de même longueur.

L'équation du demi-cercle centré en O est (x-5)^2 + y^2 = 5^2

Ajoutons le cercle centré en C de rayon TC = 10 ayant donc l'équation (x-10)^2 + (y-10)^2 = 10^2

Trouvons le point d'intersection des deux cercles.

Cercle centré en O

(x-5)^2 + y^2 = 5^2

x^2 - 10x + y^2 = 0 [1]

Cercle centré en C

(x-10)^2 + (y-10)^2 = 10^2

x^2 - 20x + y^2 - 20y + 100 = 0 [2]

Soustraction des équations [2] - [1]

-10x - 20y + 100 = 0

x = -2y + 10 [3]

Substitution de [3] dans [1]

(-2y + 10)^2 - 10(-2y + 10) + y^2 = 0

y^2 - 4y = 0

y = 4 puisque y = 0 est l'autre tangente

Par [3]

x = -2(4) + 10

x = 2

T = (2, 4)

équation de la droite tangente

y = mx + b

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (10 - 4) / (10 - 2) = 3/4

(4) = 3/4(2) + b

b = 5/2

y = 3/4x + 5/2

y= 3/4(0) + 5/2 = 5/2

Taille du triangle

(10 * (10 - 5/2)) / 2

(10 * 15/2) / 2

75 / 2

37.5 cm^2

[Cybero 4 296]

Bonne réponse d'Eric

[NBF 0]

Y a-t-il une démonstration officielle plus simple ?

[Cybero 4 296]

Je n'en ai pas, si quelqu'un a mieux, je suis également preneur

[ribi 811]

Avec de la trigonométrie :

Les deux rayons bleus du cercle sont égaux.

Les triangles OFC et ODC sont rectangles à cause des tangentes.

Donc les deux angles bleus sont égaux (ils ont même cosinus).

Donc les deux angles α sont égaux puisque les triangles OFC et ODC le sont.

L'angle BEC est égal à l'angle DCE et à 2 α puisque (AB) est parallèle à (CD).

On a tan α = OD/CD = 1/2

et l'aire de BCE est S = BE BC/2 = a²/(2 tan(2α)) = a²(1 - tan² α)/(4 tan α) = 3 a²/8

or le coté a vaut 10 cm, donc S = 37,5 cm².

[NBF 0]

Ah oui, voilà ! Merci !

[iapx 4]

...

maman... ici ils parlent en {alien}

[ribi 811]

Encore plus simple :

L'aire de BEC est l'aire du carré, à laquelle on soustrait l'aire du quadrilatère ODCF et celle du quadrilatère OFEA.

Aire du carré : a².

Aire du quadrilatère ODCF : deux fois celle du triangle ODC donc au total 2 a²/4 = a²/2

Aire du quadrilatère OFEA : a²/8, le quart de celle du quadrilatère ODCF car ce sont des polygones semblables (mêmes angles), les côtés de ODCF étant simplement deux fois plus petits que ceux de OFEA.

Au final S = a² - a²/2 -a²/8 = 3 a²/8 = 37,5 cm².

[NBF 0]

Effectivement, c'était certainement l'astuce cherchée ! Félicitations, c'est si simple pourtant même qu'on le sait !