[Résolue] Marybel est jalouse.

[melopat 0]

Marybel achète un grillage pour enfermer son mari afin d'empêcher que celui-ci ne s'échappe.

Ce grillage est constitué de losanges dont l'angle minimal entre 2 côtés vaut 45 degrés (voir figure).

Elle place verticalement ce grillage en le faisant reposer selon l'une des directions des côtés des losanges et elle met un poteau vertical derrière le grillage.

Ce poteau est placé de manière à passer par un des nœuds du grillage (sur le dessin, il s'agit du nœud du bas).

Elle constate alors que le poteau ne passe par aucun autre nœud.

Elle se pose la question suivante : si le grillage et le poteau étaient très grands, le poteau pourrait-il passer par un autre nœud ?

Et si aucun autre nœud ne passe par le poteau, quelle est la distance minimale entre un autre nœud et le poteau ?

[Marybel 38]

Et z'avez intérêt à trouver la solution vite fait, parce qu'à force de le voir cotoyer des hotesses de l'air, je le suis de plus en plus !!

[iapx 4]

... "dont l'angle minimal entre 2 côtés vaut 45 degrés"...veux-tu dire par là que le petit angle (angle aigü) du losange est 45°, ou qu'il est susceptible de varier entre 45 et 90° (carré...) ?

[melopat 0]

Il veut dire que le petit angle du losange vaut 45°

[Cybero 4 296]

Je dirais qu'à un moment ça va bien recroiser un noeud... mais je n'ai aucune preuve de ce que j'avance

[Marybel 38]

Ben alors ?

Personne pour m'aider ???

[iapx 4]

... en cours d'étude (je révise ma trigonométrie, je crois que c'est la voie...)

[melopat 0]

Justement je pensais remonter cette énigme en donnant un indice demain si personne n'avance

[melopat 0]

Voici l'indice :

La question peut se formuler de la façon suivante : Existe-t-il un point sur le grillage, autre que l'origine du repère, dont l'abscisse est zéro (le repère étant défini par l'axe horizontal, le poteau vertical et le nœud du bas passant par le poteau) ?

On utilise comme unité de longueur le côté d'un losange.

Un nœud est obtenu par N translations horizontales de longueur 1 et P translations à 45° de longueur 1.

L'abscisse de ce nœud est donc : N+Pcos45°

La question peut s'exprimer sous la forme : Existe-t-il deux entiers N et P non nuls tels que N+Pcos45°=0 ?

Voilà, bon courage

Modifié 25 juillet 2012 par melopat

[Milou74 59]

La question peut s'exprimer sous la forme : Existe-t-il deux entiers N et P non nuls tels que N+Pcos45°=0 ?

Comme cos 45° est irrationnel = ((racine 2)/2)... Il n'existe aucuns entiers qui répondent à l'énoncé !

[Cybero 4 296]

Ah oui mais non, un noeud de grillage c'est gros donc à peu de chose près ça matchera

[melopat 0]

La réponse de Milou est excellente, reste à répondre à la seconde partie de l'énigme :

"Et si aucun autre nœud ne passe par le poteau, quelle est la distance minimale entre un autre nœud et le poteau ?"

[iapx 4]

j'avais bien pressenti la réponse... je disais je vais réviser ma trigo... je pensais bien à un nombre irrationnel genre pi...

...manque dans la réponse donnée le calcul ! (la démonstration)

[chassou 0]

Quand vous dite, "Et si aucun autre nœud ne passe par le poteau, quelle est la distance minimale entre un autre nœud et le poteau ?" S'agit-il d'un 16 ème noeud ?

[melopat 0]

Non, il ne s'agit pas de ça (que tu veuilles dire le 16eme nœud après celui de base ou d'un seizième de nœud, ce n'est pas ça)

[iapx 4]

"Et si aucun autre nœud ne passe par le poteau, quelle est la distance minimale entre un autre nœud et le poteau ?"

çà serait pas infiniment petit mais non nul, dès fois ?

[melopat 0]

Si, mais encore faut-il le démontrer

[iapx 4]

je dirais :

Existe-t-il deux entiers N et P non nuls tels que N+Pcos45°=0 ?

-N=P*cos45° donc

-N=P*( √2/2 )

√2 est irrationnel donc

P*( √2/2 ) est irrationnel

pour satisfaire l'égalité, N devrait donc être irrationnel

or N est entier

absurde → conclusion : il n'existe pas de de nombre N et P tels que N+Pcos45°=0.

A l'inverse, l'ensemble des entiers est infini

donc il existe forcément un couple N et P tel que N+Pcos45°= D peu différent de 0 mais non nul.

[melopat 0]

Cette réponse est tout à fait juste

Mais la question reste : à quelle distance proche de zéro ? Comment exprimer mathématiquement la distance minimale qu'il y aura entre un nœud et le poteau ?

[iapx 4]

... quelle dénomination ou expression veux-tu ?

epsilon ? infinitésimal ?.... d= ? .... d= ?.... d= ?

ou tout simplement le symbole : Ɛ ....?

Modifié 30 juillet 2012 par iapx

[melopat 0]

C'est très joli tout cela, la formulation exacte est :

"pour tout epsilon, il existe N,P tels que N+P cos 45° soit compris entre zéro et epsilon"

Mais cela reste à prouver : par exemple, donne moi N et P de façon à obtenir un résultat positif et inférieur à un milliardième.

[chassou 0]

pour moi il n'y a pas de distance minimum, puisque l'on est dans le domaine de l'infiniment petit.

[ribi 811]

C'est un peu compliqué tout de même...

La position sur l'axe horizontal de chaque nœud du grillage est N a + P a cos 45° où a est le coté des losanges, N, P entiers relatifs (P représentant la rangée horizontale n° P-1).

cos 45° = racine(2)/2 = L (je choisis de noter cette quantité L)

Le problème est de trouver des nombres entiers relatifs N et P qui rendent N + P L le plus petit possible en valeur absolue.

Posons N₀ = 1, P₀ = -1, ε₀ = N₀ + P₀ L>0

L'idée est de construire une suite de valeurs (N_n , P_n) telles que ε_n = N_n + P_n L soit de plus en plus petit.

On suppose connu pour l'indice n les valeurs de la suite (N_n , P_n) et ε_n = N_n + P_n L>0, on peut proposer des valeurs suivantes (pour l'indice n+1) : (N_n+1 , P_n+1) et ε_n+1 = N_n+1 + P_n+1 L telles que 0< ε_n+1< ε_n/2

Deux cas sont envisageables :

soit la partie décimale de 1/ε_n est entre 0 et 0,5 ; soit elle est entre 0,5 et 1 (les valeurs limites ne peuvent pas être atteintes car 1/ε_n n'est pas rationnel_.

1. Si la partie décimale de 1/ε_n est entre 0 et 0,5

On pose

N_n+1 = 1 - N_n E(1/ε_n) ;

P_n+1 = - P_n E(1/ε_n) (E fonction partie entière)

On a bien

ε_n+1 = N_n+1 + P_n+1 L

= 1 - N_n E(1/ε_n) - P_n E(1/ε_n) L

= 1 - ε_n E(1/ε_n)

= ε_n (1/ε_n - E(1/ε_n))< ε_n/2 (remarquer que l'écart entre 1/ε_n et sa partie entière correspond à sa partie décimale)

2. Si la partie décimale de 1/ε_n est entre 0,5 et 1

On pose N_n+1 = -1 + N_n E(1/ε_n +1) ;

P_n+1 = P_n E(1/ε_n +1) (E fonction partie entière)

On a bien ε_n+1 = N_n+1 + P_n+1 L

= -1 + N_n E(1/ε_n +1) + P_n E(1/ε_n +1) L

= -1 + ε_n E(1/ε_n +1)

= ε_n (-1/ε_n + E(1/ε_n)+1)< ε_n/2

On a bien dans les deux cas ε_n+1< ε_n/2 donc ε_n < ε₀/2ⁿ. Pour avoir ε_n < x fixé positif, il suffit de prendre

n>(ln ε₀ - ln x)/ ln 2.

Sauf erreur de calcul, l'application de la méthode donne :

-886731088897+627013566048*racine(2) inférieur à un milliardième plus rapidement que prévu.

[melopat 0]

Excellente réponse de Ribi

Voici une autre suite de la forme N_n+P_ncos45° qui tend vers zéro avec n :

(2 cos45° -1)ⁿ est de la forme N_n+P_ncos45°

Pour s’en convaincre il suffit d’utiliser le développement de ( a - b )ⁿ et de noter que les puissances paires de (2 cos45°) sont des entiers.

Comme 2 cos45° -1 est positif et strictement inférieur à 1, (2 cos45° -1)ⁿ tend vers zéro.

(2 cos45° -1)ⁿ < 10^-9 peut s’écrire n log(2 cos45° -1) < -9 autrement dit n > 9/(- log(2 cos45° -1))

Je note l’énigme comme résolue, merci à tous de vous être creusés les méninges !

[Cybero 4 296]

Purée... ya du level

[iapx 4]

... ben zut alors, ils me l'ont soufflée sous le nez, la solution...

et juste au moment où j'avais fini de la mettre au propre, et m'apprêtais à la recopier ici...

bon, c'est pas grave, ça m'a pris moins de 5 minutes....

[aussi vrai que quand je disais à Feu : je suis pas loup-garou... ]

Modifié 1 août 2012 par iapx