Les recettes des bonbons

[Erka 34]

Bonjour, voici une énigme pour débuter le mois.

 

"Voici les recettes que j’utilise pour préparer mes confiseries. Je fabrique quatre types de bonbons différents. J’utilise de l’orange, de la fraise, de la pomme, du citron et de la myrtille. Chaque fruit a été remplacé par une lettre.

 

A + D + E = bonbon 1

B + C = bonbon 2

C + D + E = bonbon 3

C + D + B = bonbon 4

 

Voici quelques indices pour retrouver quelles sont exactement mes recettes :

- Il y a autant de recettes mélangeant orange et myrtille que de recettes mélangeant pomme et myrtille.

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et pomme que de recettes mélangeant pomme et citron.

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et citron que de recettes mélangeant fraise et myrtille."

Le raisonnement le plus argumenté sera récompensé (sans forcément tout détailler), idéalement vérifier que la solution est bien unique. Bien sûr, il n'est pas interdit de donner la réponse telle quelle une fois trouvé, mais ce sera un peu moins apprécié. Bonne chance !

 

[MB31 341]

J'y réfléchirai demain ! 😉

[MB31 341]

 

Révélation

Je pense qu'il faut raisonner par paires de fruits, et en particulier compter le nombre de paires qui interviennent dans les recettes.

Par exemple A+D intervient dans une recette, B+C dans deux recettes et A+B dans aucune des recette.

J'ai tout rassemblé dans le tableau (symétrique) ci-dessous. 

 

 

J'ai essayé en tâtonnant plusieurs combinaisons pour satisfaire ces 2 contraintes :

n(F+P) = n(P+C)

n(C+F) = n(F+M)

 

ce qui donnerait ensuite par déduction la lettre qui correspondrait aux oranges.

Mais je n'ai pas réussi à trouver une combinaison qui satisfasse n(O+M) = n(M+P)...

 

Par exemple :

n(D+C) = n(C+B) = 2

n(B+D) = n(D+A) = 1

 

Ce qui donne :

D : Fraise, C : Pomme, B : Citron, A : Myrtille et donc par déduction E : Orange.

 

Mais n(O+M) = 1 != n(M+P) = 0...

 

Je pense que l'idée du tableau est bonne, mais je manque de méthode pour trouver une solution qui remplisse les 3 contraintes...

 

               

 

Modifié 3 mai par MB31

[Erka 34]

C'est effectivement un bon début. C'est ensuite l'observation des bonnes données qui permettra d'avancer (plus facile à dire qu'à faire, j'avoue).

[ribi 811]

Révélation

En terme de doublets

AD + DE + AE = bonbon 1

BC = bonbon 2

CD + DE + CE = bonbon 3

CD + BD + BC = bonbon 4

Nous avons donc :

zéro recette AB, AC, BE 

une seule recette AD, AE, BD, CE

deux recettes BC, CD, DE

 

Énumérons les 20 possibilités pour cf (citron fraise)

si AB=cf, BE=fm, la myrtille E ne peut plus vérifier n(CE)=n(DE).

si AC=cf, c'est impossible de trouver un autre *C à 0

si AD=cf, BD=mf, la myrtille B ne peut pas vérifier n(BC)=n(BE)

si AE=cf, CE=mf, la myrtille C peut vérifier n(BC)=n(CD) : si B=o et D=p n(DE)=n(DA) FAUX ; si B=p et D=o n(BE)=n(AB) VRAI

si BA=cf, AC=fm, la myrtille C ne peut pas vérifier n(CD)=n(CE)

si BC=cf, CD=fm, la myrtille D ne peut pas vérifier n(AD)=n(DE)

si BD=cf, AD=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AC)=n(AE)

si BE=cf, c'est impossible de trouver un autre *E à 0.

si CA=cf, AB=fm, la myrtille B ne peut pas vérifier n(BD)=n(BE)

si CB=cf, c'est impossible de trouver un autre *B à 2.

si CD=cf, DE=fm, la myrtille E ne peut pas vérifier n(AE)=n(BE).

si CE=cf, AE=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AB)=n(AD)

si DA=cf, AE=fm, la myrtille E ne peut pas vérifier n(BE)=n(CE).

si DB=cf, c'est impossible de trouver un autre *B à 1.

si DC=cf, BC=mf,  la myrtille B peut vérifier n(AB)=n(BE) : si A=o et E=p n(CE)=n(DE) FAUX ; si A=p et E=o n(AC)=n(AD) FAUX

si DE=cf, CD=mf, la myrtille C ne peut pas vérifier n(AC)=n(BC)

si EA=cf, AD=fm, la myrtille D ne peut pas vérifier n(BD)=n(CD)

si EB=cf, AB=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AC)=n(AD)

si EC=cf, c'est impossible de trouver un autre *C à 1.

si ED=cf, CD=mf, la myrtille C ne peut pas vérifier n(AC)=n(BC)

Recopions l'énoncé en remplaçant la réponse présumée juste :

citron + pomme + fraise = bonbon 1

pomme + myrtille = bonbon 2

myrtille + orange + fraise = bonbon 3

myrtille + orange + pomme = bonbon 4

 

- Il y a autant de recettes mélangeant orange et myrtille que de recettes mélangeant pomme et myrtille. (2 recettes)

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et pomme que de recettes mélangeant pomme et citron. (1 recette)

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et citron que de recettes mélangeant fraise et myrtille. (1 recette)

Ça semble être ça, mais à cette heure-ci, ce n'est pas certain...

[Erka 34]

Révélation

Cela semble juste ! Hormis que tu as fait une erreur sur le bonbon 1, tu voulais plutôt écrire "citron + orange + fraise" ?

Bien joué en tout cas. Ce n'est pas le raisonnement que j'utilise - le mien me semble moins coûteux et plus élégant, mais peu importe. On verra si quelqu'un le trouve.

Y a-t-il une raison pour laquelle tu as choisi de tester les possibilités avec la paire (citron, fraise) plutôt qu'avec une autre des 6 apparaissant dans les égalités ?

 

(spoiler à éviter pour MB31)

Modifié 4 mai par Erka

[ribi 811]

Effectivement, j'ai choisi la mauvaise possibilité à la fin pour le bonbon 1.

Révélation

Citron fraise m'a semblé être être une bonne combinaison, puisque cela me faisait tirer une conclusion sur les myrtilles, qui intervenaient deux fois par ailleurs. C'est un peu le hasard. Il y a d'autres couples qui fonctionnent pareil apparemment.

 

[MB31 341]

Révélation

En reprenant mon tableau j'ai bêtement testé toutes les possibilités à défaut d'avoir trouvé une méthode plus élégante.

Il se trouve que la 18e testée sur 20 était la bonne (j'aurai eu mieux fait de partir de la fin de mon tableau 🤣).

 

n(E+B) = n(B+A) = 0

n(A+E) = n(E+C) = 1

 

Ce qui donne 

 

A : Citron

B : Pomme

C : Myrtille

D : Orange

 

Et par déduction on obtient :

E : Fraise

 

On retrouve bien :

n(D+C) = n(C+B) = 2

 

Les recettes sont donc, si je ne me suis pas trompé :

 

Citron + Orange + Fraise = Bonbon 1

Pomme + Myrtille = Bonbon 2

Myrtille + Orange + Fraise = Bonbon 3

Myrtille + Orange + Pomme = Bonbon 4

 

Vérifications :

 

Orange + Myrtille -> 2 recettes

Pomme + Myrtille -> 2 recettes

 

Fraise + Pomme -> 0 recette

Pomme + Citron -> 0 recette

 

Fraise + Citron -> 1 recette

Fraise + Myrtille -> 1 recette

 

Ça a l'air bon !

 

Si jamais il y a une méthode plus élégante que de tester toutes les possibilités, ça m'intéresse !

 

 

[MB31 341]

Révélation

Je n'ai pas précisé dans mon précédent message mais j'ai de suite écarté les combinaisons pour lesquelles il n'y a pas de répétition du même chiffre sur la ligne et sur la colonne (exemple ligne C, colonne B : n(C+B) = 2, mais il n'y a pas de X différent C tel que n(B+X) = 2.)

 

[Erka 34]

Bravo à vous deux ! Voici (avec un peu de retard) ma méthode pour cette énigme :

 

Révélation

 

1) effectivement, on relève combien de fois apparaît chaque paire de lettres dans les recettes. Surtout, on regroupe alors ensemble celles qui ont le même nombre d'occurrences et on relie entre elles, au sein d'un même groupe, les paires qui ont une lettre commune. En effet, les trois indices sont toujours de la forme nb(x,y)=nb(x,z) avec un élément commun entre les deux membres. On obtient

 

Groupe "1" : BD -- AD -- AE -- CE
Groupe "2" : BC -- CD -- DE

Groupe "0" : AC -- AB -- BE

 

Où les "--" sont vraiment la relation entre deux paires qui ont une lettre commune, pas juste pour séparer dans une liste.

 

2) À partir de là, on peut faire quelques constats utiles assez immédiatement. Tout d'abord, il est impossible que les trois égalités des indices soient toutes de la forme "1=1". En effet, on a 6 paires différentes dans les indices, et juste quatre paires différentes dans le groupe "1".
En outre, il y a au maximum une seule égalité "2=2" et idem au maximum une seule égalité "0=0". Tout simplement car il est impossible de prendre les deux relations d'un de ces groupes à la fois sans impliquer deux fois une même paire "centrale". 

Conclusion : les trois égalités sont soit de la forme : "1=1" ; "1=1" ; "2=2" ou "1=1" ; "1=1" ; "0=0" ou "1=1" ; "2=2" ; "0=0" (à l'ordre près).

3) On peut alors montrer que les deux cas ci-dessus avec deux égalités "1=1" sont eux aussi impossibles. Supposons qu'il y ait deux telles égalités. Alors en regardant nos groupes établis plus tôt on comprend que ces deux égalités ne peuvent être que : nb(BD)=nb(AD) et nb(AE)=nb(CE). En effet, impliquer nb(AD)=nb(AE) quelque part ferait forcément apparaître AD ou AE deux fois ensuite.

Regardons alors de façon fine comment sont structurées les égalités des trois indices. On peut noter un fait crucial qui est le détail qui va vraiment nous permettre d'avancer rapidement pour la suite : "l'élément commun d'une des trois égalités n'apparaît pas dans l'une des deux autres égalités restantes et apparaît exactement une fois dans l'autre des deux autres égalités restantes" et "ceci est valable pour chacune des trois égalités".

Concrètement, prenons l'exemple de la première égalité nb(OM)=nb(PM). L'élément commun est la myrtille. Regardons alors la deuxième égalité : la myrtille en est complètement absente. Regardons la troisième égalité nb(FC)=nb(FM) : la myrtille y apparaît exactement une fois. On peut faire le même travail pour la deuxième égalité, puis pour la troisième. L'aspect cyclique de la chose nous aidera beaucoup plus tard. 

Du coup, si deux des trois égalités sont déjà : nb(BD)=nb(AD) et nb(AE)=nb(CE) alors on a déjà D et E comme deux lettres communes. La seconde de ces égalités n'implique pas D et la première n'implique pas E. Cela signifie que la troisième égalité cherchée pour alors compléter devra impliquer exactement une fois D et exactement une fois E ! En outre, elle ne peut pas être du groupe "1". Cherchons dans les groupes "2" et "0" : une telle égalité n'existe pas. Il est donc impossible de compléter correctement. Conclusion : les trois égalités sont de la forme : "1=1" ; "2=2" ; "0=0" (à l'ordre près).

 

4) Maintenant que l'on est sûr et certain de cela, on sait donc que l'on va piocher exactement un couple de paires dans chacun des trois groupes établis plus tôt. Il reste donc un certain nombre de possibilités à tester. Tout d'abord, selon à quelle égalité on attribue la relation "1=1", à quelle égalité on attribue la relation "2=2", etc. il y a déjà 6 possibilités principales.

Il faut ensuite multiplier ce 6 par le nombre de triplets possibles dans un arbre de la forme :  3 éléments - 2 éléments - 2 éléments où on pioche un élément exactement dans chaque zone. A priori, on peut voir que cela fait 12 triplets à considérer. Ce qui nous ferait encore 6*12=72 possibilités, de quoi douter de l'efficacité de cette méthode...

Sauf qu'il y en a réalité très peu de triplets à réellement considérer parmi les 12. En effet, on rappelle que les triplets que l'on cherche doivent vérifier la contrainte de structure cyclique mentionnée plus tôt. Le plus gros du travail de l'énigme consiste donc en réalité à trouver les bons triplets en ayant ce critère en tête. On peut aussi utiliser une autre astuce pour d'abord déjà réduire à 8 triplets sur 12 à considérer : les trois "éléments communs" (lettres communes) donnés par les trois couples de paires doivent être tous distincts. En effet, les trois éléments communs des indices sont myrtille, pomme, fraise distincts. Seuls 8 triplets sur 12 vérifient ce petit critère.
En ensuite, sauf erreur de ma part, il me semble qu'il n'y a ensuite que 2 triplets sur 12 qui vérifient la contrainte de structure cyclique.

Je ne vais pas faire ici tout le travail d'élimination de 6 triplets sur 8 (voire 10 sur 12) jusqu'à trouver les bons, mais voici par exemple un début : si on choisit "AC-AB" dans le groupe des 0 et "CD-DE" dans le groupe des 2, alors on ne peut choisir que "AE-CE" dans le groupe des 1 à cause de la dernière astuce mentionnée. Ensuite, ce triplet trouvé peut a priori sembler vérifier la contrainte de structure expliquée plus tôt... mais en réalité, non, il pêche à un endroit : la lettre commune "D" du couple "CD-DE" n'apparaît jamais ailleurs, pas exactement une fois ailleurs.

Voilà, en tout cas il s'agit alors d'une tâche réalisable à la main sans y passer beaucoup de temps, ce me semble être la façon la plus efficace de faire. 

Les deux seuls bons triplets de couples sont : "AC-AB" ; "BC-CD" ; "BD-AD" et "AB-BE" ; "BC-CD" ; "AE-CE".

On arrive donc maintenant à 6*2=12 possibilités à considérer.

Mais on peut tomber à juste 6. L'un des deux triplets finaux pêche encore selon un autre point. En effet, le triplet "AC-AB" ; "BC-CD" ; "BD-AD" a un gros défaut : la lettre E n'y apparaît jamais. Or il faut bien sûr que chacune des 5 lettres apparaisse au moins une fois dans le bon triplet, puisque chacun des 5 fruits est mentionné au moins une fois directement dans les recettes.

On a donc trouvé le bon triplet sans (trop) d'efforts : "AB-BE" ; "BC-CD" ; "AE-CE". 
Et il reste à tester quel indice des recettes correspond à l'égalité de type "1=1", lequel correspond à l'égalité de type "2=2", etc.

Pour trancher parmi les 6 possibilités restantes, il va falloir tester chaque hypothèse et regarde ce qui se passe. Encore une fois, observer finement la structure des indices va nous aider.
 

Une fois un couple de paires attribué au premier indice, on impose "Myrtille = telle lettre". Idem pour le second indice, on impose immédiatement "Pomme = telle lettre". Idem pour le troisième indice et la fraise.

Donc dès qu'on choisit une des 6 possibilités, les lettres sont attribuées pour ces trois fruits. Or quelles paires de fruits apparaissent dans les recettes mélangeant myrtille, pomme et fraise ? Il y en a trois : (pomme, myrtille) dans la première recette, (fraise, pomme) dans la seconde, (fraise, myrtille) dans la troisième.

On va se pencher sur les deux dernières. Dès qu'on fixe une des 6 possibilités, on a que nb(fraise, pomme) et nb(fraise, myrtille) sont connus. Or nb(fraise, pomme)=nb(pomme, citron) et nb(fraise, myrtille)=nb(fraise, citron). Il est intéressant de regarder les deux derniers indices plutôt que les deux premiers car le seul autre fruit alors impliqué est le citron. 

En outre, on sait concrètement que le citron ne pourra être que A ou D peu importe laquelle des 6 possibilités principales on explore, car les lettres attribuées à (myrtille, pomme, fraise) sont (B, C, E) d'après les lettres communes dans le triplet gardé.

Imaginons que (fraise, pomme)=(C, B) (l'ordre est important ici, on fixe les fruits). Alors on cherche (pomme, citron)=(B, A) ou (B, D) et appartenant au même groupe que (C, B). On remarque que c'est impossible.
Imaginons que (fraise, pomme)=(B, E). Alors on cherche (pomme, citron)=(E, A) ou (E, D) et appartenant au même groupe que (B, E). On remarque que c'est impossible.
Imaginons que Imaginons que (fraise, pomme)=(E, C). Alors on cherche (pomme, citron)=(C, A) ou (C, D) et appartenant au même groupe que (C, B). On remarque que c'est impossible.

Voilà qui élimine trois des six possibilités à cause de l'ordre. On sait donc que (fraise, pomme)=(B,C) ou (E, B) ou (C, E).

Supposons (fraise, pomme)=(B, C), ce qui implique aussi myrtille=E. Alors (pomme, citron) ne peut être que (C, D).

Mais du coup le troisième indice devient : nb(BD)=nb(BE), ce qui est faux.
 

Supposons (fraise, pomme)=(C, E), ce qui implique aussi myrtille=B. Alors (pomme, citron) ne peut être que (E, A).

Mais du coup le troisième indice devient : nb(AC)=nb(BC), ce qui est faux.

Supposons (fraise, pomme)=(E, B), ce qui implique aussi myrtille=C. Alors (pomme, citron) ne peut être que (B, A).
Du coup le troisième indice devient : nb(AE)=nb(CE), là c'est vrai.

Donc fraise = E ; pomme = B ; myrtille = C ; citron = A ; orange = D.

 

 

Modifié 17 mai par Erka