Les recettes des bonbons

[Erka 33]

Bonjour, voici une énigme pour débuter le mois.

 

"Voici les recettes que j’utilise pour préparer mes confiseries. Je fabrique quatre types de bonbons différents. J’utilise de l’orange, de la fraise, de la pomme, du citron et de la myrtille. Chaque fruit a été remplacé par une lettre.

 

A + D + E = bonbon 1

B + C = bonbon 2

C + D + E = bonbon 3

C + D + B = bonbon 4

 

Voici quelques indices pour retrouver quelles sont exactement mes recettes :

- Il y a autant de recettes mélangeant orange et myrtille que de recettes mélangeant pomme et myrtille.

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et pomme que de recettes mélangeant pomme et citron.

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et citron que de recettes mélangeant fraise et myrtille."

Le raisonnement le plus argumenté sera récompensé (sans forcément tout détailler), idéalement vérifier que la solution est bien unique. Bien sûr, il n'est pas interdit de donner la réponse telle quelle une fois trouvé, mais ce sera un peu moins apprécié. Bonne chance !

 

[MB31 340]

J'y réfléchirai demain ! 😉

[MB31 340]

 

Révélation

Je pense qu'il faut raisonner par paires de fruits, et en particulier compter le nombre de paires qui interviennent dans les recettes.

Par exemple A+D intervient dans une recette, B+C dans deux recettes et A+B dans aucune des recette.

J'ai tout rassemblé dans le tableau (symétrique) ci-dessous. 

 

 

J'ai essayé en tâtonnant plusieurs combinaisons pour satisfaire ces 2 contraintes :

n(F+P) = n(P+C)

n(C+F) = n(F+M)

 

ce qui donnerait ensuite par déduction la lettre qui correspondrait aux oranges.

Mais je n'ai pas réussi à trouver une combinaison qui satisfasse n(O+M) = n(M+P)...

 

Par exemple :

n(D+C) = n(C+B) = 2

n(B+D) = n(D+A) = 1

 

Ce qui donne :

D : Fraise, C : Pomme, B : Citron, A : Myrtille et donc par déduction E : Orange.

 

Mais n(O+M) = 1 != n(M+P) = 0...

 

Je pense que l'idée du tableau est bonne, mais je manque de méthode pour trouver une solution qui remplisse les 3 contraintes...

 

               

 

Modifié Dimanche à 14:40 par MB31

[Erka 33]

C'est effectivement un bon début. C'est ensuite l'observation des bonnes données qui permettra d'avancer (plus facile à dire qu'à faire, j'avoue).

[ribi 811]

Révélation

En terme de doublets

AD + DE + AE = bonbon 1

BC = bonbon 2

CD + DE + CE = bonbon 3

CD + BD + BC = bonbon 4

Nous avons donc :

zéro recette AB, AC, BE 

une seule recette AD, AE, BD, CE

deux recettes BC, CD, DE

 

Énumérons les 20 possibilités pour cf (citron fraise)

si AB=cf, BE=fm, la myrtille E ne peut plus vérifier n(CE)=n(DE).

si AC=cf, c'est impossible de trouver un autre *C à 0

si AD=cf, BD=mf, la myrtille B ne peut pas vérifier n(BC)=n(BE)

si AE=cf, CE=mf, la myrtille C peut vérifier n(BC)=n(CD) : si B=o et D=p n(DE)=n(DA) FAUX ; si B=p et D=o n(BE)=n(AB) VRAI

si BA=cf, AC=fm, la myrtille C ne peut pas vérifier n(CD)=n(CE)

si BC=cf, CD=fm, la myrtille D ne peut pas vérifier n(AD)=n(DE)

si BD=cf, AD=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AC)=n(AE)

si BE=cf, c'est impossible de trouver un autre *E à 0.

si CA=cf, AB=fm, la myrtille B ne peut pas vérifier n(BD)=n(BE)

si CB=cf, c'est impossible de trouver un autre *B à 2.

si CD=cf, DE=fm, la myrtille E ne peut pas vérifier n(AE)=n(BE).

si CE=cf, AE=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AB)=n(AD)

si DA=cf, AE=fm, la myrtille E ne peut pas vérifier n(BE)=n(CE).

si DB=cf, c'est impossible de trouver un autre *B à 1.

si DC=cf, BC=mf,  la myrtille B peut vérifier n(AB)=n(BE) : si A=o et E=p n(CE)=n(DE) FAUX ; si A=p et E=o n(AC)=n(AD) FAUX

si DE=cf, CD=mf, la myrtille C ne peut pas vérifier n(AC)=n(BC)

si EA=cf, AD=fm, la myrtille D ne peut pas vérifier n(BD)=n(CD)

si EB=cf, AB=mf, la myrtille A ne peut pas vérifier n(AC)=n(AD)

si EC=cf, c'est impossible de trouver un autre *C à 1.

si ED=cf, CD=mf, la myrtille C ne peut pas vérifier n(AC)=n(BC)

Recopions l'énoncé en remplaçant la réponse présumée juste :

citron + pomme + fraise = bonbon 1

pomme + myrtille = bonbon 2

myrtille + orange + fraise = bonbon 3

myrtille + orange + pomme = bonbon 4

 

- Il y a autant de recettes mélangeant orange et myrtille que de recettes mélangeant pomme et myrtille. (2 recettes)

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et pomme que de recettes mélangeant pomme et citron. (1 recette)

- Il y a autant de recettes mélangeant fraise et citron que de recettes mélangeant fraise et myrtille. (1 recette)

Ça semble être ça, mais à cette heure-ci, ce n'est pas certain...

[Erka 33]

Révélation

Cela semble juste ! Hormis que tu as fait une erreur sur le bonbon 1, tu voulais plutôt écrire "citron + orange + fraise" ?

Bien joué en tout cas. Ce n'est pas le raisonnement que j'utilise - le mien me semble moins coûteux et plus élégant, mais peu importe. On verra si quelqu'un le trouve.

Y a-t-il une raison pour laquelle tu as choisi de tester les possibilités avec la paire (citron, fraise) plutôt qu'avec une autre des 6 apparaissant dans les égalités ?

 

(spoiler à éviter pour MB31)

Modifié Lundi à 05:26 par Erka

[ribi 811]

Effectivement, j'ai choisi la mauvaise possibilité à la fin pour le bonbon 1.

Révélation

Citron fraise m'a semblé être être une bonne combinaison, puisque cela me faisait tirer une conclusion sur les myrtilles, qui intervenaient deux fois par ailleurs. C'est un peu le hasard. Il y a d'autres couples qui fonctionnent pareil apparemment.

 

[MB31 340]

Révélation

En reprenant mon tableau j'ai bêtement testé toutes les possibilités à défaut d'avoir trouvé une méthode plus élégante.

Il se trouve que la 18e testée sur 20 était la bonne (j'aurai eu mieux fait de partir de la fin de mon tableau 🤣).

 

n(E+B) = n(B+A) = 0

n(A+E) = n(E+C) = 1

 

Ce qui donne 

 

A : Citron

B : Pomme

C : Myrtille

D : Orange

 

Et par déduction on obtient :

E : Fraise

 

On retrouve bien :

n(D+C) = n(C+B) = 2

 

Les recettes sont donc, si je ne me suis pas trompé :

 

Citron + Orange + Fraise = Bonbon 1

Pomme + Myrtille = Bonbon 2

Myrtille + Orange + Fraise = Bonbon 3

Myrtille + Orange + Pomme = Bonbon 4

 

Vérifications :

 

Orange + Myrtille -> 2 recettes

Pomme + Myrtille -> 2 recettes

 

Fraise + Pomme -> 0 recette

Pomme + Citron -> 0 recette

 

Fraise + Citron -> 1 recette

Fraise + Myrtille -> 1 recette

 

Ça a l'air bon !

 

Si jamais il y a une méthode plus élégante que de tester toutes les possibilités, ça m'intéresse !

 

 

[MB31 340]

Révélation

Je n'ai pas précisé dans mon précédent message mais j'ai de suite écarté les combinaisons pour lesquelles il n'y a pas de répétition du même chiffre sur la ligne et sur la colonne (exemple ligne C, colonne B : n(C+B) = 2, mais il n'y a pas de X différent C tel que n(B+X) = 2.)