[Résolue] Le prix du carburant

[ribi 764]

L'autre jour, j'ai voulu mettre 20 € de carburant dans le réservoir de mon automobile. À la pompe, je m'apprêtais à finir l'opération, en ajoutant précautionneusement les dernières gouttes. Mais l'affichage de la pompe est passé directement de 19,99€ à 20,01€ !

Comme je souhaitais que le total soit "rond", je décide d'aller jusqu'à 20,10€. Je renouvelle l'opération, mais l'affichage de la pompe passe directement de 20,09€ à 20,11€.

Je ne m'avoue pas vaincu, je renouvelle l'opération pour 20,20€. Mais la pompe passe directement de 20,19 € à 20,21€.

"M'avouer vaincu ? Non, jamais ! J'en prendrai pour un prix "rond" (multiple de 10 centimes) !"

Malheureusement, la malédiction du "9 1" sans 0 entre les deux se répéta pour 20,30€, 20,40€, 20,50€... Mais au bout du compte, ma persévérance fut récompensée, et la pompe finit par afficher un prix rond !

Mais j'ai payé finalement plus de 30€ !

Questions :

1. Quel était le prix du carburant ?

2. Combien ai-je payé ?

Précisions :

a. Je suis suffisamment adroit pour verser le carburant très précisément dans mon réservoir.

b. Le prix du carburant est de 1,xyz € par litre de carburant (il s'agit de trouver les trois chiffres après la virgule).

c. Le volume délivré par la pompe est arrondi au centilitre près. Le prix à payer est obtenu avec la règle de l'arrondi, au centime le plus proche (et en arrondissant au centime supérieur dans le cas d'un "demi centime").

C'est une énigme à deux niveaux :

* un niveau intuitif, sans calcul : une idée simple permet de réduire à 5 ou 6 valeurs approximatives les prix du carburant possibles.

* un niveau calculatoire, qui permet de trancher entre les valeurs. Un logiciel de calcul sera le bienvenu...

[Cybero 4 210]

L'essence à 1,109... il date ton plein (sur l'image je veux dire)

Bon je vais essayer de me pencher sur ton cas

Edit: Hummm je vois pas trop par où commencer en fait

Modifié 18 novembre 2012 par Cybero

[ribi 764]

L'essence à 1,109... il date ton plein (sur l'image je veux dire)

Bon je vais essayer de me pencher sur ton cas

Edit: Hummm je vois pas trop par où commencer en fait

1,109€/L ! J'ai cru que cette valeur était celle que tu proposais... Ce n'est pas ce prix-là !

Ce prix est par coïncidence très proche d'une des "5 ou 6 valeurs approximatives" des "prix du carburant possibles" par un raisonnement par intuition...

Un indice :

Quand ça passe de 19,99 à 20,01, on pense "c'est pas de chance"...

Quand ça passe de 20,09 à 20,11, on pense "c'est pas de chance"...

Quand ça passe de 20,19 à 20,21, on pense "c'est pas de chance"...

Quand ça passe de 20,29 à 20,31, on pense "c'est pas de chance"...

Quand ça passe de 20,39 à 20,41, on pense "c'est pas de chance"...

Quand ça passe de 20,49 à 20,51, on pense "Mais c'est toujours pareil à chaque fois ?"...

[ribi 764]

Dépêchez-vous, ça va augmenter...

Des questions ?

[ribi 764]

Un indice quand même

Pour simplifier l'étude du problème, on peut noter V le volume en centilitres, P le prix affiché en centimes. (Le prix X en centimes par centilitre, c'est la même chose qu'en euros par litre)

Pour P₀ = 1999 c, le volume est V₀.

Pour P₁ = 2009 c, le volume est V₁.

Pour P₂ = 2019 c, le volume est V₂.

...............................................

Pour P₉₉ = 2989 c, le volume est V₉₉.

Pour P₁₀₀ = 2999 c, le volume est V₁₀₀.

Que pensez-vous intuitivement de la suite V₀, V₁, V₂, ... V₉₉, V₁₀₀ ?

Cela devrait vous aider à trouver des valeurs possibles pour X...

Modifié 27 novembre 2012 par ribi

[Cybero 4 210]

Cette énigme ne trouve pas preneur

[ribi 764]

Pourtant c'est très simple :

quand vous arrivez à la pompe, essayez de mettre 20€. Si ça passe de 19,99€ à 20,01€, essayez de mettre 20,10€. Si ça passe de 20,09 à 20,11€.............etc,etc.

..... quand la queue de voiture sera suffisamment longue derrière vous, vous aurez trouvé le bon prix.

Trêve de plaisanteries...

Le résultat intuitif s'obtient par une simple division. J'ai pratiquement tout dit : si on a l'impression qu'il se passe presque toujours la même chose (passage du 9 au 1 répété N fois), c'est qu'on est extrêmement près d'une situation où il se passerait exactement la même chose tous les 10 centimes.

Ceci permet de donner 5 ou 6 valeurs approchées possibles du prix du carburant.

Modifié 6 décembre 2012 par ribi

[ribi 764]

J'essaye de ranimer cette énigme dont le détail est :

Le chiffre du prix bascule à chaque fois qu'on ajoute un nouveau centilitre (cL) de carburant.

Point de départ : lorsque l'affichage bascule de 19,99 à 20,01€.

On ajoute n cL : l'affichage bascule de 20,09 à 20,11 €

On ajoute n cL : l'affichage bascule de 20,19 à 20,21 €

On ajoute n cL : l'affichage bascule de 20,29 à 20,31 €

..............................

Quel peut être le prix du carburant (compris entre 1 et 2 € par litre) pour que cette situation répétitive tous les 10 centimes se produise un grand nombre de fois ?

Modifié 15 décembre 2012 par ribi

[Cybero 4 210]

Vu le temps écoulé et le peu de réponses, je ne met pas de spoiler

Après quelques hésitations, je dirais 1,429 € du litre et que tu as fini par payer ton plein 31€

[Cybero 4 210]

ribi ?

[iapx 3]

quelqu'un à des nouvelles de ribi ?

ou des infos ?

(aucune connexion depuis le 22 à 14h ... j'espère qu'il n'a pas de pb...)

[ribi 764]

Vu le temps écoulé et le peu de réponses, je ne met pas de spoiler

Après quelques hésitations, je dirais 1,429 € du litre et que tu as fini par payer ton plein 31€

bravo Cybero !

quelqu'un à des nouvelles de ribi ?

ou des infos ?

(aucune connexion depuis le 22 à 14h ... j'espère qu'il n'a pas de pb...)

Je suis revenu...

Est-ce que quelqu'un voit pourquoi cette valeur de 1,429 € par litre était facilement "prévisible" parmi très peu de valeurs possibles ?

[Cybero 4 210]

Perso j'ai utilisé la solution excel

Je me doutais que c'était un nombre de ce style mais je ne pouvais rien affirmer ou prouver

[ribi 764]

Perso j'ai utilisé la solution excel

Je me doutais que c'était un nombre de ce style mais je ne pouvais rien affirmer ou prouver

On attend pas de démonstration. De quel "style" ce nombre devait-il être ?

[Cybero 4 210]

Je ne sais pas... l'intuition

[ribi 764]

Je ne sais pas... l'intuition

Est-ce que ce prix 1,429 n'est pas particulièrement près d'une fraction remarquable ?

[iapx 3]

Est-ce que ce prix 1,429 n'est pas particulièrement près d'une fraction remarquable ?

...racine carrée ?

[godzi 646]

près de 1/7 = 0.142857142857... qui est un nombre cyclique

après ça, je vois pas pour 1.429 ...

[iapx 3]

... après vérification c'est en fait 10 / 7

j'ai trouvé ceci là-dessus :

.

.

mais je ne vois pas ce que çà apporte au prix de l'essence !

[ribi 764]

C'est pourtant bien une valeur approchée de 10/7. :vrabo:/> quand même iapx et godzi...

En fait, on pouvait avoir l'intuition que les prix du carburant proches de 10/n euro par litre avec n entier étaient d'excellents candidats pour produire "la même chose" à chaque fois qu'on ajoute n cL.

En effet, si un vendeur fixait un prix de vente égal à 10/n, pour n pcentilitres de carburant versé (avec p entier), le prix de vente serait exactement 10 p centimes, et la pompe afficherait toujours le chiffre des centimes 0 à chaque fois qu'on verse n p centilitres. Il n'y aurait d'ailleurs jamais de passage du chiffre des centimes de 9 à 1 dans ce cas là.

Maintenant, si le vendeur fixait un prix de vente très voisin de 10/n, mais pas égal (mettons (10+ε)/n, avec ε très très petit), pour n pcentilitres de carburant versé, le prix de vente serait de (10+ε) p centimes avant arrondi. Tant que ε p est inférieur à un demi centime, le chiffre des centimes arrondi reste 0. Par contre à partir de p égal à 0.5/ε en valeur absolue, l'arrondi donnera 1 (si ε>0, cas retenu pour la suite, ou 9 si ε<0, où les calculs seraient en fait du même type). Comme ε p varie très lentement, l'arrondi 1 (ou 9) au lieu de 0 va se produire un très grand nombre de fois...

Il est donc logique de chercher un prix de vente proche de 10/5 = 2, 10/6 ≈ 1,667, 10/7 ≈ 1,429, 10/8 = 1,25, 10/9 ≈ 1,111 et 1.

Pour la suite, il faudra calculer (ce qui se fait aussi très bien avec un tableur comme excel).

Pour n p - 1 centilitres de carburant, le prix de vente serait de (10+ε)(p-1/n)= 10 p + ε p - ε/n+10/n avant arrondi. Si ε p - (10+ε)/n<-0.5, le chiffre des centimes arrondi sera 9, sinon, il sera 0 (on ne peut pas envisager d'autres cas car le carburant coûte moins de 2 €/L). Le chiffre des centimes passe de 9 à 1 si p<((10+ε)/n -0.5)/ε.

On a donc deux conditions possibles (ce ne sont malheureusement pas les seules imaginables) à vérifier simultanément pour avoir un passage du 9 au 1 :

p>0.5/ε et p<((10+ε)/n -0.5)/ε.

Cette condition doit être vérifiée pour tout prix de 20 à 30 € donc pour tout p de 200 à 300.

Si on essaye le prix 1.429 €/L (qui donne ε = 0.003 puisque 1.429*7=10.003 avec n=7) on obtient avec les conditions p<1000/6 ≈ 167 et p<929/3≈309.7, c'est-à dire que de 16,70€ à 30,90€ le chiffre 0 ne sera jamais le dernier chiffre affiché par la pompe, qui passera de 9 à 1...

Le prix rond payé était donc de 31 €.

C'est résolu...

Modifié 6 janvier 2013 par ribi

[iapx 3]

pfiouuuu !......